Wiensches Verschiebungsgesetz

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Das nach Wilhelm Wien benannte Wiensche Verschiebungsgesetz gibt an, bei welcher Wellenlänge <math>\lambda_{\rm max}</math> bzw. Frequenz <math>\nu_{\rm max}</math> ein nach dem Planckschen Strahlungsgesetz strahlender Schwarzer Körper die größte Strahlungsleistung oder die größte Photonenrate abgibt.

Es lassen sich verschiedene Versionen des Gesetzes herleiten. Die im Folgenden zuerst dargestellte ist meist gemeint, wenn ohne weitere Spezifikation vom „Wien'schen Verschiebungsgesetz“ gesprochen wird.

Inhaltsverzeichnis

Maximale Strahlungsleistung

Wellenlängendarstellung

Die spektrale spezifische Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers der Temperatur <math>T</math> ist in der Wellenlängendarstellung gegeben durch

<math>M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}</math>.

Gesucht ist die Wellenlänge <math>\lambda_{\rm max}</math>, bei welcher diese Funktion das Maximum annimmt. Nullsetzen der Ableitung nach <math>\lambda</math> liefert:

<math>\frac{hc}{\lambda kT} \frac{1}{(1-e^{\left(- \frac{hc}{\lambda kT}\right)})}-5=0</math>.

Die Substitution <math>x := \frac{hc}{\lambda kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>\frac{x}{1-e^{-x}}-5 = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>x = 4{,}9651142317...</math>,

und Rücksubstitution führt auf das Wiensche Verschiebungsgesetz in der Wellenlängendarstellung:

<math>\lambda_{\rm max} = \frac{hc}{xkT} = \frac{2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}}{T}</math>

Die Wellenlänge maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also einfach umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur des Schwarzen Strahlers. Verdoppelt sich die Temperatur des Strahlers, so tritt die größte Strahlungsleistung bei der halben Wellenlänge auf.

Das Produkt <math>\lambda_{\rm max} \, T = 2897{,}8\,\mathrm{\mu m \, K}</math> wird auch als Wiensche Verschiebungskonstante bezeichnet. Der gemäß CODATA 2002 empfohlene Wert beträgt <math>(2897{,}7685\pm0{,}0051)\,\mathrm{\mu m \, K}\ .</math>

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu <math>T^5</math>.


Frequenzdarstellung

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung gegeben durch

<math>M^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}</math>.

Nullsetzen der Ableitung nach <math>\nu</math> liefert:

<math>3 - \frac{h\nu}{kT}\frac{1}{1-e^{\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)}} = 0</math>.

Die Substitution <math>\tilde x := \frac{h\nu}{kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>3 - \frac{\tilde x}{1-e^{- \tilde x}} = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>\tilde x = 2{,}8214393721...</math>,

und Rücksubstitution führt auf das Wiensche Verschiebungsgesetz in der Frequenzdarstellung:

<math>\nu_{\rm max} = \frac{\tilde x k T}{h} = 5{,}878933 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T</math>

Die Frequenz maximaler Strahlungsleistung verschiebt sich also proportional zur absoluten Temperatur des Strahlers.

Die spektrale spezifische Ausstrahlung des Maximums ist proportional zu <math>T^3</math>.

Man beachte, dass wegen der nichtlinearen Umrechnung zwischen Wellenlängen- und Frequenzintervallen nicht gilt: <math>\nu_{\rm max} = \frac{c}{\lambda_{\rm max}}</math>, sondern

<math>\nu_{\rm max} = \frac{\tilde x}{x} \frac{c}{\lambda_{\rm max}} \approx 0{,}568 \frac{c}{\lambda_{\rm max}}</math>.


Maximale Photonenrate

Wellenlängendarstellung

Die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, ist in der Wellenlängendarstellung gegeben durch

<math>\tilde M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi c}{\lambda^4} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}</math>.

Nullsetzen der Ableitung nach <math>\nu</math> liefert:

<math>\frac{hc}{\lambda kT} \frac{1}{(1-e^{\left(- \frac{hc}{\lambda kT}\right)})}-4 = 0</math>.

Die Substitution <math>x := \frac{hc}{\lambda kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>\frac{x}{1-e^{-x}}-4 = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>\hat x = 3{,}9206903948...</math>,

und Rücksubstitution führt auf das Wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Wellenlängendarstellung:

<math>\lambda_{\rm max} = \frac{hc}{\hat xkT} = \frac{3669{,}7\,\mathrm{\mu m \, K}}{T}</math>

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu <math>T^4</math>.


Frequenzdarstellung

In der Frequenzdarstellung ist die spektrale spezifische Ausstrahlung, ausgedrückt durch die Abstrahlungsrate der Photonen, gegeben durch

<math>\tilde M^o_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi \nu^{2}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}</math>.

Nullsetzen der Ableitung nach <math>\nu</math> liefert:

<math>2 - \frac{h\nu}{kT} \frac{1}{(1-e^{\left(- \frac{hc}{\lambda kT}\right)})} = 0</math>.

Die Substitution <math>\check x := \frac{h\nu}{kT}</math> vereinfacht den Ausdruck zu <math>2 - \frac{\check x}{1-e^{- \check x}} = 0</math>.

Die numerische Lösung ergibt

<math>\check x = 1{,}5936242600...</math>,

und Rücksubstitution führt auf das Wiensche Verschiebungsgesetz für die Photonenrate in der Frequenzdarstellung:

<math>\nu_{\rm max} = \frac{\check x k T}{h} = 3{,}320578 \cdot 10^{10} \,\mathrm{Hz \, K^{-1}} \cdot T</math>

Die spektrale Photonenrate des Maximums ist proportional zu <math>T^2</math>.


Anwendungsbeispiele

Nimmt man für die Sonne <math>\lambda_{\rm max}\approx 500</math> nm an und betrachtet sie näherungsweise als Schwarzen Strahler, so ergibt sich ihre Oberflächentemperatur zu 5796 K.

Glutfarben geben Aufschluss über die Temperatur heißer Materialien.


Siehe auch

Andere die Strahlung des Schwarzen Körpers betreffende Gesetze sind das Plancksche Strahlungsgesetz, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das Wiensche Strahlungsgesetz und das Rayleigh-Jeans-Gesetz. Näherungsweise gelten diese Gesetze oft auch für die von nicht-schwarzen Strahlern abgegebene Wärmestrahlung.


Weblinks

Von "http://de.freepedia.org/Wiensches_Verschiebungsgesetz.html"


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