Wallissches Produkt
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Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte Wallissche Produkt oder Wallis-Produkt zur Näherung der Kreiszahl Pi:
Inhaltsverzeichnis |
Wallis' Formel
- <math>\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots</math>
Eine alternative Schreibweise
Alternative Schreibweise: <math>\frac {\pi} {2} =\prod_{i=1}^\infty \frac{4 \, i^2}{4 \, i^2 - 1}</math> — wobei jeder Schritt von i zwei Glieder der obigen Folge erfasst.
Übersichtlicher ist die Darstellung des Kehrwerts: <math>\frac 2{\pi} =\prod_{i=1}^\infty \bigg(1- \frac1{4 \, i^2}\bigg)</math>. Die Konvergenz dieses Produktes folgt aus der Konvergenz der unendlichen Reihe <math>\sum_{i=1}^\infty \frac{-1}{4 \, i^2}</math> bzw <math>\sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2}</math>.
Nach Wallis hat das unendliche Produkt den Wert <math>2/\pi</math>.
Konvergenzgeschwindigkeit
So einfach die Formel in der Theorie ist, so ungeeignet ist sie auch zur tatsächlichen Berechnung von Pi. Wenn man etwa die ersten 10 Terme des Wallischen Produkts berechnet (und das Ergebnis verdoppelt), so erhält man <math>2 \cdot\frac21\cdot \frac23 \cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdot\frac87\cdot\frac89 \cdot\frac{10}9 \cdot\frac{10}{11} = 2\cdot \prod_{i=1}^{5} \frac{4 \, i^2}{4 \, i^2 - 1} \approx 3,002</math> womit nicht einmal die erste Nachkommastelle von Pi richtig berechnet ist.
Nach Ausmultiplizieren der ersten 100 Terme ergibt sich ein Quotient aus zwei 160-stelligen Zahlen, der aber für Pi nur die Näherung 3,126 liefert, also nicht einmal 2 Nachkommastellen korrekt angibt. Da 3,126/3,14159 = 0,9950 ist, ist der relative Fehler etwa 0,5%. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist langsamer als linear.
Die folgende Tabelle gibt für einige ausgewählte Werte von N an, wie gut die Approximation von Pi ist, die man nach Ausmultiplizieren von 2N Termen im Wallisschen Produkt erhält:
| N | 2*Produkt | 2*Produkt / Pi | relativer Fehler |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,7 | 0,85 | 15% |
| 2 | 2,8 | 0,91 | 9% |
| 3 | 2,9 | 0,93 | 7% |
| 10 | 3,07 | 0,976 | 2,4% |
| 100 | 3,134 | 0,9975 | 0,25% |
| 1000 | 3,1408 | 0,99975 | 0,025% |
| 10000 | 3,14151 | 0,999975 | 0,0025% |
| 100000 | 3,141585 | 0,9999975 | 0,00025% |
| ∞ | 3.14159265... | 1 | 0% |
Die Tabelle legt die Vermutung nahe, dass der Fehler nach Ausmultiplizieren von 2N Termen in etwa 1/(4N), d.h. <math>\frac{25}{N}</math>% beträgt (z.B. nach 200=2*100 Termen: 0,25% = 1/400). Dies kann man auch durch eine mathematische Überlegung beweisen:
Der Quotient zwischen der Approximation und dem gewünschten Wert ist nämlich gleich dem unendlichen Produkt <math>\prod_{i=N+1}^\infty \bigg(1- \frac1{4 \, i^2}\bigg)</math>. Mit Hilfe
der Rechenregeln für Logarithmen, der Abschätzung <math>\log(1+x) \approx x </math> (für kleine x) sowie durch Approximation einer
unendlichen Summe durch ein Integral sieht man, dass dieses Produkt ungefähr den folgenden Wert hat:
<math> e^{\int_N^\infty \log\bigg(1- \frac1{4 \, x^2}\bigg) \,dx} \approx e^{\int_N^\infty -\frac1{4 \, x^2}\,dx} \approx e^{-\frac1{4 \, N}} \approx 1-\frac1{4 \, N}</math>.
Damit die ersten beiden Nachkommastellen richtig sind, braucht man eine Genauigkeit von ca 0,3% (3.13/3.14 = 0.997), also etwa N=60. Für 3 Nachkommastellen braucht man N=600, für 4 Nachkommastellen N=6000 etc.
Literatur
(hier nicht verwendet)
- Wallis, John: ¬The¬ arithmetic of infinitesimals : John Wallis, 1656 / transl. from Latin to English with an introduction by Jacqueline A. Stedall. - New York, NY ; Berlin ; Heidelberg [u.a.] : Springer, 2004. - XXXIII, 192 S. : graph. Darst. - (Sources and studies in the history of mathematics and physical sciences). ISBN 0-387-20709-0
