Tschebyschow-Polynom
aus Freepedia, der freien Wissensdatenbank
Tschebyschow-Polynome (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) sind in der Mathematik Polynome <math>T_n(x)</math>, die sich aus der Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung
<math>(1-x^2){d^2y \over dx^2}-x \cdot {dy \over dx}+n^2 \cdot y = 0 </math>
ergeben. Mit beliebigen A und B ist die Lösung die Funktion
<math>y=A (1-x^2) \cdot {n^2 \over 2!} \cdot x^2 + n^2 \cdot {(n^2-4) \over 4!} \cdot x^4 - {n^2 \cdot (n^2-4)(n^2-16) \over 6!} \cdot x^6 + </math> + …<math>B \cdot (x-{(n^2-1) \over 3!} \cdot x^3 + {(n^2-1) \cdot (n^2-1) \cdot (n^2-9) \over 5!} \cdot x^5 - </math>…<math>)</math>
Man kann die für ganzzahlige Reihen abbrechenden Lösungen so normieren, dass <math>T_n(1)=1</math> gilt, so daß sich die Tschebyschow-Polynome <math>T_0(x)</math> ergeben.
Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:
- <math>T_0(x)=1 </math>
- <math>T_1(x)=x </math>
- <math>T_2(x)=2 x^2 - 1</math>
- <math>T_3(x)=4 x^3 - 3 x</math>
- <math>T_4(x)=8 x^4 - 8 x^2 + 1</math>
- <math>T_5(x)=16 x^5 - 20 x^3 + 5 x</math>
- <math>T_6(x)=32 x^6 - 48 x^4 + 18 x^2 - 1</math>
Sie können in allgemeiner Weise aus <math>T_{(n+1)}(x) = 2x \cdot T_n(x)-T_{(n-1)} (x) </math> berechnet werden.
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als <math>T_n(x)=cos[n \cdot arccos x] </math> oder Tn(cos <math>\theta)</math>=cos(n <math>\theta)</math>.
Die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms <math>T_n(x) </math> sind <math>cos(\frac{(2j+1)\pi}{2n})</math>.
