Trägheitsmoment
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Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, die die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegungen beschreibt. Sie ist damit das Äquivalent zur (trägen) Masse der Translationsbewegungen.
Inhaltsverzeichnis |
Bedeutung des Trägheitsmomentes
Die Bedeutung des Trägheitsmoments soll hier durch Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung erfolgen:
- Wollen wir beispielsweise ein Fahrrad und einen Eisenbahnwagen auf dieselbe Geschwindigkeit beschleunigen, so ist intuitiv klar, dass wir für dieselbe Beschleunigung den Eisenbahnwagen viel kräftiger anschieben müssen als das Fahrrad. Die Stärke der nötigen Kraft hängt mit der Masse zusammen.
- Für Rotationsbewegungen ist die Sache weniger einfach: Sollen zwei gleich schwere Kugeln zum Drehen gebracht werden, die eine aus Blei, die andere aus Holz, so könnte man annehmen, dass man hier wegen derselben Masse auch dasselbe Drehmoment (das Pendant zur Kraft) aufbringen muss. Dies ist jedoch nicht der Fall: Je weiter außen (= Entfernung vom Zentrum der Drehachse) die Masse sitzt, desto größer das benötigte Drehmoment, um die beiden Kugeln in gleichschnelle Drehung zu versetzen. Da die Holzkugel bei gleicher Masse viel größer ist, benötigen wir hier ein größeres Drehmoment. Diese Eigenschaft der beiden Kugeln, wie schwer sie in Drehung zu versetzen sind, nennt man Trägheitsmoment.
(Beispiele zur Änderung des Trägheitsmoments bei konstanter Masse zum selbst Ausprobieren: Auf einem Schreibtischstuhl Arme und Beine nach außen strecken, und sich dann in Drehung versetzen. Durch Anziehen von Armen und Beinen nimmt das Trägheitsmoment ab, was zur Folge hat, dass die Drehbewegung schneller wird. Alternativ könnte man sich auch auf diesen Drehstuhl setzen und jeweils eine Hantel o.Ä. in jede Hand nehmen; die Arme seitlich vom Körper weggestreckt. Versetzt man sich dann in Drehung, kann man die Geschwindigkeit erhöhen, indem man die Hanteln an den Körper anzieht - umgekehrt dreht man sich langsamer, sobald man die Hanteln von sich wegstreckt. Auch ein sehr gutes Beispiel ist ein Schlittschuhläufer: Sobald er bei den Drehungen um seine eigene Achse die Arme einzieht, dreht er sich schneller; siehe auch Drehimpuls).
Berechnung
Das Trägheitsmoment I ist immer in Bezug auf die jeweilige Drehachse zu sehen und berechnet sich, wenn man einzelne Massenpunkte des drehenden Körpers betrachtet, wie folgt:
- <math>I = \sum_i m_i r_i^2</math>
m ist dabei die Masse des jeweiligen Teilchens, r der Abstand des Teilchens von der Drehachse. Es werden also alle Massen im Produkt mit dem Quadrat des Abstandes von der Achse aufsummiert.
Für das Trägheitsmoment um die x-Achse heißt das Konkret:
- <math>I_x = \sum_i m_i (y_i^2 + z_i^2)</math>
Da in der Realität keine einzelnen Massenpunkte ohne Ausdehnung vorkommen, und man daher einen Körper in der Regel mit kontinuierlicher Massenverteilung betrachten wird, benutzt man in diesem Fall die Integralschreibweise:
- <math>I = \int r^2\,\mbox{d}m</math>
dm ist dabei das so genannte Massenelement.
Das Integral von dm über den ganzen Körper entspricht dessen Masse m.
Ist die Dichte des Körpers über das gesamte Volumen konstant, d. h.
- <math>\varrho=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}=const.</math>
so lässt sich das Trägheitsmoment schreiben als
- <math>I=\varrho \int_{V} r^2 \, \mathrm{d}V</math>
Durch das Trägheitsmoment lässt sich bei gegebener Winkelgeschwindigkeit bzw. -beschleunigung der Drehung der Drehimpuls und das (Dreh-)Moment ermitteln:
- <math>\vec{L} = \vec{\omega} I_\omega </math>
- <math>\vec{M} = \dot{\vec{L}} = \dot{\vec{\omega}} I_\omega</math>
Einheit
- <math>\left[\, I \right] = \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2</math>
- <math>\left[\, L \right] = \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{s}^{-1} = \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}</math>
- <math>\left[\, M \right] = \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{s}^{-2} = \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} </math>
Trägheitsmomente von Himmelskörpern
Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind angenähert kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des Himmelskörpers.
Die Differenz dieses "polaren" und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20mal größer.
Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen r² im obigen Integral auf die innere Konzentration seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist viel kleiner, als wenn sie homogen aufgebaut wäre. Daraus kann man errechnen, dass der Erdkern aus Eisen (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.
Trägheitsmomente einfacher geometrischer Körper
| Abbildung | Beschreibung | Trägheitsmoment |
|---|---|---|
| Bild:Traegheit a punktmasse.png | Punktmasse im senkrechten Abstand <math>r</math> um eine Drehachse | <math>I = m \cdot r^2</math> |
| Bild:Traegheit b zylindermantel.png | Zylindermantel um seine Körperachse rotiert | <math>I = m \cdot r^2</math> |
| Bild:Traegheit c vollzylinder.png | Vollzylinder um seine Körperachse rotiert | <math>I = {1 \over 2} m \cdot r^2</math> |
| Bild:Traegheit d hohlzylinder2.png | Hohlzylinder um seine Körperachse rotiert. Das "+" sieht zunächst verblüffend aus, doch die Masse ist nicht wie beim Vollzylinder homogen verteilt, sondern liegt nur noch im Außenbereich. Ein Hohlzylinder hat also, bei gleicher Masse, im Vergleich zum Vollzylinder ein größeres Massenträgheitsmoment. | <math>I = {1 \over 2} m \cdot (r_2^2+r_1^2)</math> |
| Bild:Traegheit e vollzylinder 2.png | Vollzylinder um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert | <math>I = {1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math> |
| Bild:Traegheit f zylindermantel 2.png | Zylindermantel um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert | <math>I = {1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math> |
| Bild:Traegheit g stab1.png | Dünner Stab um den Schwerpunkt senkrecht zu seiner Körperachse rotiert | <math>I = {1 \over 12} m \cdot l^2</math> |
| Bild:Traegheit h stab2.png | Dünner Stab um sein Ende senkrecht zu seiner Körperachse rotiert | <math>I = {1 \over 3} m \cdot l^2</math> |
| Bild:Traegheit i kugel1.png | Kugelschale um ihren Schwerpunkt rotiert | <math>I = {2 \over 3} m \cdot r^2</math> |
| Bild:Traegheit j kugel1.png | Massive Kugel um ihren Schwerpunkt rotiert | <math>I = {2 \over 5} m \cdot r^2</math> |
| Bild:Traegheit k quader.png | Quader um seinen Schwerpunkt rotiert | <math>I = {1 \over 12} m \cdot (a^2 + b^2)</math> |
Die Steiner-Regel
Die obenstehenden Trägheitsmomente (mit Ausnahme von a), dem Masseteilchen, und h), dem Stab, der um sein Ende rotiert) sind nur dann gültig, wenn die Drehachse der geometrischen Achse des Körpers entspricht, d. h. durch den Schwerpunkt geht. Andernfalls kann die Steiner-Regel (auch: Steiner'scher Satz) angewendet werden.
Beispiel für die Berechnung eines Trägheitsmoments: Die homogene Vollkugel
Wegen der Symmetrie wird dieses Trägheitsmoment am einfachsten in Kugelkoordinaten berechnet. Mit dem Volumenelement dV und dessen Abstand
- <math>r \cdot \sin \vartheta</math>
von der Drehachse, ergibt sich für das Trägheitsmoment der Gesamtausdruck
- <math>I=\varrho \int_{0}^{R}\mathrm{d}r\,\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\vartheta \, \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \,r^4 \sin^3 \vartheta</math>
Die beiden Integrationen über r und <math>\varphi</math> lassen sich sofort ausführen, sodass es schliesslich gilt, folgenden Ausdruck zu berechnen:
- <math>I=\frac{2}{5} \cdot \pi \cdot \varrho \cdot R^5 \cdot \int_{0}^{\pi}\sin^3 \vartheta \, \cdot \mathrm{d}\vartheta</math>
Durch partielle Integration mit
- <math>u=\sin^2 \vartheta</math> und <math>v^{\prime} = \sin \vartheta</math>
erhält man schließlich
- <math>\int_{0}^{\pi}\sin^3 \vartheta \, \mathrm{d}\vartheta=\frac{4}{3}</math>
und für das gesamte Trägheitsmoment ergibt sich so:
- <math>I=\frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot \varrho \cdot R^5 = \frac{2}{5} \cdot M \cdot R^2</math>
Siehe auch
Weblinks
MathePlanet: Ein paar (Massen-)Trägheitsmomente Anleitungen zum Berechnen diverser Massenträgheitsmomente mit Beispielen
