Teilchen im Kasten
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Das Teilchen im Kasten ist eines der verschiedenen Modellsysteme aus der Quantenmechanik, welches zur Quantisierung der Energie führt. In diesem Artikel soll die Lösung der Schrödinger-Gleichung für diesen Modellfall durchgeführt werden.
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Gedanklicher Aufbau
Das eindimensionale Modellsystem besteht aus einem freien Teilchen (beispielsweise einem Gasmolekül), welches zwischen zwei "Wänden" (eine bei <math>x=0</math> und eine bei <math>x=L</math>) eingesperrt ist. Im Inneren des Kastens herrscht ein Potential von Null. Die "Wände" symbolisieren eine unendlich hohe Potentialbarriere. Im Gegensatz zur klassischen Physik führt die quantenmechanische Beschreibung dieses Modells zu zwei wesentlichen Unterschieden:
- Es sind nur Teilchen zugelassen, deren Wellenlänge zwischen die Wände passt.
- An den Wänden muss die Wellenfunktion Null sein. (Diese Randbedingung begründet sich aus mathematischen Forderungen für die Schrödinger-Gleichung.)
Wenn die Potentialbarriere endlich ist, kommt ein dritter Unterschied hinzu. Ein quantenmechanisches Teilchen kann auch eine Potentialbarriere überwinden, für die es eigentlich nicht genügend Energie besitzt. Dies nennt man den Tunneleffekt.
Die Lösungen der Schrödinger-Gleichung führt zur Quantisierung der Energie
Wie bei einem freien Teilchen lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung innerhalb des Kastens
- <math>H \psi(x) = E \psi(x)</math>.
Die Wellenfunktion <math>\psi(x)</math> lässt sich schreiben als
- <math>\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) </math>
und für die Energie <math>E</math> erhält man
- <math> E = {k^2 \cdot \hbar^2 \over 2m} </math>.
Beschränkt werden die Lösungen allerdings durch die Randbedingung, dass die Wellenfunktion <math>\psi(x)</math> an den Wänden gleich 0 sein muss. Es muss also gelten
- <math>\psi(x=0)=0 \quad \mbox{ und } \quad \psi(x=L)=0</math>.
Aus der ersten Randbedingung folgt
- <math>\begin{matrix}\psi(x=0) &=& A\sin(k0) + B\cos(k0) \\ & =& A\cdot0 + B\cdot1 \\ & = & 0\end{matrix}</math>.
Damit diese Gleichung erfüllt wird, muss <math>B=0</math> sein. Damit vereinfacht sich die Wellenfunktion zu
- <math>\psi(x) = A \sin(kx)</math>.
Mit Hife der zweiten Randbedingung folgt dann
- <math>\psi(x=L)=A\sin(kL)=0</math>.
Damit diese Gleichung erfüllt wird, muss <math>kL</math> ein ganzes Vielfaches von <math>\pi</math> sein, also
- <math>kL=n\pi \quad \mbox{ wobei } \quad n=1,2,3,...</math>
Löst man diesen Ausdruck nach <math>k</math> auf und setzt ihn in die Gleichung für die Energie <math>E</math> ein, so erhält man
- <math> E = {n^2 \cdot h^2 \over 8mL^2} </math>.
Da <math>n</math> nur ganzzahlige Werte annehmen darf, kann die Energie ebenfalls nur bestimmte Werte annehmen. Die Energie des Teilchens ist somit gequantelt.
Modell für konjugierte Systeme
Das Teilchen im Kasten kann als einfaches Modell für ein konjugiertes Molekül, z.B. Hexatrien, verwendet werden, um dessen Energie abzuschätzen. Man nimmt an, dass sich die Elektronen in einem konjugierten Molekül in diesem frei bewegen können, aber es nicht verlassen können. Man Addiert formal ein halbes Atom an jedem Ende des Moleküls. Die Länge dieses Teilchens entspricht dann dem Kasten in dem sich das Elektron befindet.
Beispiel aus der Kristallographie
Ein Beispiel aus der Kristallographie ist das Farbzentrum, bei denen ein Elektron in einer Anionen-Leerstelle eingesperrt ist und das sich in guter Näherung als ein Teilchen im Kasten beschreiben läßt.
