Symmetrische Matrix

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In der Mathematik heißt eine Matrix symmetrisch, wenn sie bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht, wenn also für ihre Koeffizienten gilt a_ij=a_ji. Daraus folgt, dass nur quadratische Matrizen symmetrisch sein können.

Für symmetrische Matrizen gilt, dass sie mit ihrer Transponierten übereinstimmen und sich immer diagonalisieren lassen. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische, sondern für Hermitesche Matrizen.

Beispiele

<math> \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 6 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} </math>

sei A die Matrix, dann gilt: <math> A=A^T</math>