Syllogismus

aus Freepedia, der freien Wissensdatenbank

(Weitergeleitet von Syllogistik)

Die Syllogismen (Mehrzahl von Syllogismus) bilden den Kern der klassischen Logik des Aristoteles in den Analytiken (Analytica Priora, Analytica Posteriora). Sie sind ein Katalog von Typen logischer Schlussfolgerungen.

Diese Folgerungen sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), genannt Obersatz und Untersatz ergeben eine Konklusion (Schlussfolgerung).

Innerhalb dieser drei kategorischen Urteile werden wiederum drei Begriffe verwendet, die der Syllogismus in Beziehung setzt: das Prädikat (P), das auf der rechten Seite der Konklusion und im Obersatz vorkommt, das Subjekt (S), das auf der linken Seite der Konklusion und im Untersatz vorkommt, und der Mittelbegriff (M), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt.

Inhaltsverzeichnis

Beispiel

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).

Der Syllogismus setzt also zwei zunächst nicht verbundene Begriffe (P und S) über den Mittelbegriff (M) in eine logisch gültige Beziehung, indem er von logisch gültigen Beziehungen jeweils eines Einzelbegriffes zum Mittelbegriff ausgeht.

Typen von Aussagen

Eine Aussage in einem Syllogismus setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung (kategorisches Urteil). Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:

  • A - das allgemein bejahende Urteil - "alle S sind P"
  • E - das allgemein verneinende Urteil - "kein S ist P"
  • I - das partikulär bejahend Urteil - "einige S sind P"
  • O - das partikulär verneinde Urteil - "einige S sind nicht P"

Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten "affirmo" (ich bejahe) und "nego" (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.

Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder zusammen wahr noch zusammen falsch sein können; A – O und I – E. Dann ist die zweite Aussage die Negation der ersten und es gilt für beide der Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide wahr, wohl aber beide falsch sein können; A – E.

Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide falsch, wohl aber beide wahr sein können; I – O.

Es ergibt sich das logische Quadrat: A konträr E, I subkonträr O.

Figuren

Welche der drei Begriffe S, P und M in einer Aussage des Syllogismus vorkommen müssen, ist festgelegt: Der Obersatz besteht aus P und M, der Untersatz aus S und M, die Konklusion aus S und P. Die Konklusion hat dabei immer die Form S - P, die Anordnung der Begriffe in den Prämissen kann frei gewählt werden. Je nach Anordnung unterscheidet man die vier Figuren:

  • 1. Figur: M - P, S - M, S - P
  • 2. Figur: P - M, S - M, S - P
  • 3. Figur: M - P, M - S, S - P
  • 4. Figur: P - M, M - S, S - P

Beispiel:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).
Aufgrund der Stellung der Begriffe M - P, S - M, S - P erkennt man einen Syllogismus der 1. Figur.

Modi (Kombinationen)

Es gibt in jeder Figur mehrere Modi (auch: Kombinationen), die sich voneinander durch die Typen der auftretenden Urteile unterscheiden. Jede der drei Aussagen im Syllogismus kann von einem der Typen A bis D sein. Bei vier Figuren und vier Typen ergeben sich also 64 Kombinationsmöglichkeiten. Ein Modus wird durch drei Buchstaben beschrieben. Dabei stehen die ersten beiden Buchstaben für die Typen der Prämissen, der dritte Buchstabe für den Typ der Konklusion.

Beispiel:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).
Prämisse 2 (oder Untersatz): Sokrates (S) ist ein Mensch (M).
Konklusion (oder Schlusssatz): Also ist Sokrates (S) sterblich (P).
Alle drei Aussagen sind vom Typ A, also ist das ein AAA-Syllogismus.

Mit Hilfe der Regeln des einfachen kategorischen Syllogismus erkennt man 24 Typen von korrekten Schlüssen, die folgende Namen tragen:

  • 1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront
  • 2. Figur: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros
  • 3. Figur: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison
  • 4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemos

Dabei bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz, Untersatz, Konklusion. Die Konsonanten geben an, aus welchem der Syllogismus der 1. Figur (1. Buchstabe) und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) die Syllogismen der anderen Figuren hergeleitet werden können.

Syllogismen im Kontext der modernen Mathematik

Die klassischen Syllogismen lassen sich heute als Anwendung der umfassenderen Prädikatenlogik verstehen. Auch lassen sie sich als Mengenbeziehungen darstellen.

Beispiel:

Syllogismus:

Alle Menschen sind sterblich.
Sokrates ist ein Mensch.
Also ist Sokrates sterblich.

mengenmäßig:

Menschen ist eine Untermenge von Sterbliche.
Sokrates ist ein Element von Menschen
Also ist Sokrates ein Element von Sterbliche.

prädikatenlogisch:

<math>\forall x: menschlich \left( x \right ) \Rightarrow sterblich \left( x \right)</math>
<math>\and menschlich \left( Sokrates \right)</math>
<math>\Rightarrow sterblich \left( Sokrates \right)</math>

Metathesis praemissarum

metathesis praemissarum (lat.) bezeichnet eine logische Operation im Syllogismus. </br> Durch diese Operation werden die Prämisse minor und die Prämisse major miteinander vertauscht.

Ex mere negativis nihil sequitur

Ex mere negativis nihil sequitur (lat. Allein aus verneinten Aussagen können keine Schlüsse gezogen werden): bezeichnet eine Logikregel, nach der ein einfacher kategorischer Syllogismus nicht nur verneinende oder partikuläre Prämissen enthalten darf.

Aus den Prämissen "Ein Planet hat keine eigenen Lichtquellen" und "Die Sonne ist kein Planet" kann z.B. kein wahrer Schlusssatz gewonnen werden. Oder auch: Aus den Prämissen "Einige Säugetiere leben im Wasser" und "Einige Tiere, die auf dem Land leben, sind Säugetiere" kann ebenfalls kein wahrer Schlusssatz im Syllogismus abgeleitet werden.

Beispiele und Anmerkungen

Zur ersten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der ersten Figur hat die Form MxP und SyM => SzP.

Die erste Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAA - Modus Barbara

Beispiel
Alle Rechtecke sind Vierecke
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Alle Quadrate sind Vierecke

EAE - Modus Celarent

Beispiel
Kein Rechteck ist ein Kreis
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Also ist kein Quadrat ein Kreis

AII - Modus Darii

Beispiel
Alle Quadrate sind Rechtecke
Einige Rhomben sind Quadrate
Es folgt: Einige Rhomben sind Rechtecke

EIO - Modus Ferio

Beispiel
Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Einige Wassertiere sind Säugetiere
Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht durch Kiemen

Zur zweiten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der zweiten Figur hat die Form # 2. Figur: PxM und SyM => SzP.

Die zweite Figur besitzt folgende vier Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

EAE - Modus Cesare

Beispiel
Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Alle Fische atmen durch Kiemen
Es folgt: Kein Fisch ist ein Säugetier

AEE - Modus Camestres

Beispiel
Alle Fische atmen durch Kiemen
Kein Säugetier atmet durch Kiemen
Es folgt: Kein Säugetier ist ein Fisch

EIO - Modus Festino

AOO - Modus Baroco

Zur dritten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der dritten Figur hat die Form MxP und MyS => SzP.

Die dritte Figur besitzt folgende sechs Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAI - Modus Darapti

Beispiel
Alle Quadrate sind Vierecke
Alle Quadrate sind Rechtecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke

Dieser Syllogismus setzt voraus, dass eine All-Aussage eine Existenzaussage impliziert, im Gegensatz zur modernen Prädikatenlogik. Damit lässt sich in der Prädikatenlogik leicht ein Beispiel konstruieren für das dieser Schluss falsch ist, z.B. wenn man einen Pegasus als ein geflügeltes Pferd definiert:

Alle Pegasi sind Pferde
Alle Pegasi sind geflügelt
Es folgt: Einige Pferde sind geflügelt

IAI - Modus Disamis

Beispiel

Einige Früchte sind Äpfel.
Alle Früchte sind Pflanzen.
Es folgt: Einige Pflanzen sind Äpfel.

AII - Modus Datisi

EAO - Modus Felapton

OAO - Modus Bocardo

EIO - Modus Ferison

Zur vierten Figur des kategorischen Syllogismus

Der Schluss der vierten Figur hat die Form PxM und MyS => SzP.

Die vierte Figur besitzt folgende fünf Modi (auch: Kombinationen) mit den Namen:

AAI - Modus Bamalip

Beispiel
Alle Quadrate sind Rechtecke
Alle Rechtecke sind Vierecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate

Dies ist ein Syllogismus, der voraussetzt, dass eine Allaussage zugleich die Existenz aussagt, d.h. "Alle Quadrate sind Rechtecke" impliziert die Existenz von Quadraten, dies weicht von der Semantik des All-Quantors in der formalen Logik ab.

AEE - Modus Camenes

IAI - Modus Dimaris

Einige Rhomben sind Rechtecke
Alle Rechtecke sind Parallelogramme
Es folgt: Einige Parallelogramme sind Rhomben (Nämlich die Quadrate)

EAO - Modus Fesapo

EIO - Modus Fresion

Syllogismen

  • Epicherem - Syllogismus, in dem jede Prämisse ihrerseits ein Syllogismus ist, allerdings nach Art eines Enthymem verkürzt
  • Episyllogismus - Syllogismus, in dem der Schlusssatz eines vorangehenden Syllogismus als erste Prämisse erscheint.
  • Prosyllogismus

Literatur

  • Aristoteles: Organon. 4 Teile in 3 Bänden, Meiner 2001, ISBN 3787315969
  • Günther Patzig: Die aristotelische Syllogistik. Logisch-philologische Untersuchung über das Buch A der "Ersten Analytik". 3. Aufl., Göttingen, 1969

Siehe auch

Weblinks

Von "http://de.freepedia.org/Syllogismus.html"


Views
'Persönliche Werkzeuge
Werkzeuge
Andere Sprachen
Ähnliche Links