Supersymmetrie

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Unter einer Supersymmetrie versteht man die Invarianz eines physikalischen Modells unter einer Transformation, deren infinitesimaler Parameter ein antikommutierendes Element einer Superalgebra ist. So, wie eine räumliche Drehung um 180 Grad um die x-Achse ein Teilchen mit Spin +1/2 in z-Richtung in ein Teilchen mit Spin -1/2 in z-Richtung verwandelt, verbindet eine Supersymmetrietransformation Teilchen, deren Gesamtspin sich um 1/2 unterscheidet und faßt damit Materieteilchen (Fermionen wie z.B. das Elektron) und Kraftteilchen (Bosonen wie z.B. das Photon) als verschiedene Teile eines größeren Ganzen (eines "Supersymmetrie-Multipletts") zusammen.

In der Quantenfeldtheorie werden die fundamentalen Felder als irreduzible unitäre Darstellungen der Raumzeit-Symmetrien modelliert. Das bedeutet, dass zum einen Raumzeit-Symmetrien als lineare Operatoren auf diesen Feldern wirken, zum anderen ein sinnvolles inneres Produkt definiert ist, das nach den Regeln der Quantenmechanik Amplituden auf Wahrscheinlichkeiten abbildet. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik des Punktteilchens in einer Dimension sind die Raumzeit-Symmetrien die Verschiebung um eine gewisse Distanz a in der Ortskoordinate, gegeben durch <math>e^{ \frac{\mathsf{i}}{\hbar} \cdot a \cdot P }</math> , wobei <math>\vec{P} \dot{=} \frac{\hbar}{\mathsf{i}} \mathcal{r}</math> der Impuls-Operator ist, die Verschiebung in der Zeitrichtung um das Zeitintervall t, gegeben durch <math>e^{-{\frac{\mathsf{i}}{\hbar} \cdot t \cdot \hat{H}}}</math> , wobei <math>\hat{H} = {\mathsf{i} \cdot \hbar \cdot \mathcal{r}}</math> der Hamilton-Operator ist, und der Übergang zu einem bewegten Bezugssystem, welcher in der relativistischen Verallgemeinerung als Lorentz-Boost auftaucht. Neben diesen Raumzeit-Symmetrien tauchen in der Quantenfeldtheorie ferner auch "interne" Symmetrien auf.

Ein Beispiel für eine (näherungsweise) interne Symmetrie: In der nichtrelativistischen Quantenmechanik lassen sich gewisse phänomenologische Aspekte des Hadronen-Spektrums durch Annahme einer (nur näherungsweise erfüllten) Isospin-Symmetrie gut erklären. Die zugrundeliegende Annahme ist, dass das up- und down-Quark auf gleiche Weise an der starken Wechselwirkung teilnehmen und deswegen als ein quantenmechanisches Zweizustandssystem aufgefaßt werden können. Bindungszustände aus up- und down-Quarks müssen sich dann in irreduzible Darstellungen der Isospin-Symmetriegruppe SU(2) klassifizieren lassen. Beispielsweise bilden die pi-Mesonen ein Isospin-Triplett. Dieses Modell lässt sich nun auf zwei Weisen erweitern: da es neben up- und down-Quark ein weiteres vergleichsweise leichtes Quark gibt - das strange-Quark - lässt sich das Zweizustandssystem zu einem Dreizustandssystem ausweiten, dessen Symmetriegruppe SU(3) ist. Das Triplett der pi-Mesonen wird auf diese Weise ausgeweitet zu einem Mesonen-Oktett, das auch die K-Mesonen und das eta-Meson enthält.

Zum anderen kann man den Spin der Quarks in die Betrachtung mit aufnehmen und ein Vierzustandssystem mit Zuständen up/spin-hoch, up/spin-runter, down/spin-hoch, down/spin-runter betrachten. Das Triplett der pi-Mesonen, das durch Quark-Antiquark-Paarungen mit verschwindendem Spin entsteht, wird so erweitert auf ein System von <math>{4 \cdot 4}=16</math> Quantenzuständen, das die drei pi- und das eta-Meson (mit verschwindendem Spin) sowie das omega- und die drei rho-Mesonen umfaßt. (Letztere haben Gesamtspin 1 und tauchen deswegen in drei Polarisationszuständen auf, was die <math>{3 + 1 + \left( 3 + 1 \right) \cdot 3} = 16</math> Quantenzustände ergibt.)

Unter anderem der Erfolg dieser nichtrelativistischen Modelle für die Mesonen-Klassifizierung hat die Frage aufgeworfen, ob es möglich ist, entsprechende relativistische Verallgemeinerungen zu finden. Nach wiederholtem Scheitern aller Konstruktionsversuche wurde von Coleman und Mandula ein allgemeines Argument angegeben, weshalb eine Vergrößerung von Raumzeit-Symmetrien, wie sie etwa für das Verheiraten des Spins (der auf räumliche Drehungen reagiert) mit internen Symmetrien nötig wären, nicht möglich ist. (Kurz gesagt ist die Idee, dass die vergrößerten Symmetrien zusätzliche Erhaltungssätze liefern würden, die Streuung nur noch unter diskreten Winkeln ermöglichen würden. Da der differentielle Streuquerschnitt stetig ist, würde dies bedeuten, dass Wechselwirkungen in so einem Modell nicht möglich sind. Allenfalls konforme Symmetrie käme in Frage.)

Eine Eigenheit der Quantenfeldtheorie ist, dass sich die Felder in unserer Welt, die zu Kraftteilchen gehören (also etwa das zum Photon gehörende elektromagnetische Feld) elegant mit reellen bzw. komplexen Zahlen beschreiben lassen, während es für die Beschreibung von Materieteilchen nützlich ist, eine Superzahlen-Algebra einzuführen. Diese bestent aus einer Erweiterung der komplexen Zahlen um algebraische Elemente, die <math>{a_j \cdot a_k} = {- a_k \cdot a_j}</math> erfüllen. Diese technisch und konzeptionell sehr involvierte Konstruktion lässt sich stark vereinfacht so darstellen, dass auf diese Weise das Pauli-Prinzip modelliert wird: ein Feld X, das durch antikommutierende Superzahl-Elemente beschrieben wird, erfüllt das Pauli-Prinzip, denn es muß <math>{X \cdot X}={-X \cdot X}=0</math> gelten, d.h. ein gegebener Quantenzustand kann nicht zweifach angeregt ("besetzt") werden.

Man stellt fest, dass sich große Teile der Analysis, linearen Algebra, Algebra, Gruppentheorie, etc. auf Superzahlen-Algebren verallgemeinern lassen. Eine detaillierte Betrachtung zeigt, dass es insbesondere möglich ist, Symmetriegruppen zu betrachten, in denen Drehwinkel nicht nur herkömmliche komplexe Zahlen, sondern auch antikommutierende Superzahlen sein können. Erstaunlicherweise ist die Idee einer derartigen fundamentalen Symmetrie ohne große Modifikationen mit dem allgemeinen Rahmenwerk der Quantenfeldtheorie kompatibel und umgehen eine der Grundannahmen des zuvor erwähnten Coleman-Mandula-Theorems. Dies liefert die Grundlage für die Vereinheitlichung von Quantenfeldern mit verschiedenem Spin, also von Materiefeldern mit Kraftfeldern.

Das Konzept 'Supersymmetrie' ist allgemein und insbesondere nicht auf das Standardmodell eingeschränkt. Wichtig ist für eine Boson-Fermion-Symmetrie, dass für Bosonen und Fermionen gleich viele Quantenzustände existieren. Zwei wichtige Verallgemeinerungen der Supersymmetrie sind die erweiterte Supersymmetrie und die geeichte Supersymmetrie. Es ist im Prinzip möglich, mehr als einen unabhängigen antikommutierenden Spinor von Supersymmetrietransformationen zu haben. Während eine Supertransformation den Spin eines Teilchens um 1/2 ändert, können zwei hintereinander ausgeführte unabhängige Supertransformationen den Spin eines Teilchens um 1 ändern. Da sich die Helizität der masselosen Teilchen im Bereich -2..2 bewegen muß (wobei Teilchen mit Helizität +2/-2 positiv und negativ zirkular polarisierte Gravitonen darstellen), sind in vier Raumzeit-Dimensionen maximal acht unabhängige Supersymmetrie-Generatoren möglich, die alle Teilchen von Spin 0 bis Spin 2 in einem Multiplett vereinheitlichen, das allerdings leider unsere Welt nicht beschreiben kann. Da der Kommutator zweier globaler Supersymmetrie-Transformationen eine Raumzeit-Parallelverschiebung ergibt, liegt die Frage nahe, ob die Beförderung der Supersymmetrie zu einer lokalen Symmetrie automatisch eine diffeomorphismen-invariante physikalische Theorie einer gekrümmten Raumzeit liefert. Dies ist in der Tat der Fall. Umgekehrt gesehen bedingt die Verallgemeinerung der Supersymmetrie auf eine gekrümmte Raumzeit die Erweiterung der Supersymmetrie zu einer lokalen Symmetrie. Eine solche geeichte Supersymmetrie enthält als Eichfeld eine "spinor-wertige 1-Form", das sogenannte Spin-3/2 Rarita-Schwinger-Feld, dessen Superpartner das Spin-2 Graviton ist. Eine supersymmetrische Gravitationstheorie wird Supergravitation genannt.

Weblinks

• http://de.arxiv.org/abs/hep-th/0508127 (Kurzer Übersichtsartikel von einem der Entdecker der Supersymmetrie, der insbesondere auf wesentliche phänomenologische Aspekte eingeht.)