Steinerscher Satz

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Der Satz von Steiner geht nach allgemeiner Auffassung auf Jakob Steiner zurück. Er wird angewendet, wenn Trägheitsmomente berechnet werden sollen, und die Drehachse nicht mit einer Achse durch den Schwerpunkt, für Flächenträgheitsmomente der Flächenschwerpunkt, des Körpers zusammenfällt. Weiterhin wird der Steinersche Satz verwendet, um Flächenträgheitsmomente von Körpern zu bestimmen, deren Schwerpunkt nicht im Ursprung des Koordinatensystems liegt.

Anwendung auf Trägheitsmoment

Die tabellarischen Trägheitsmomente sind nur dann gültig, wenn die Drehachse der geometrischen Achse des Körpers entspricht, d.h. durch den Schwerpunkt geht. Andernfalls kann die Steiner-Regel (auch: Steiner'scher Satz) angewendet werden:

<math>I = I_G + ml^2</math>

Hier ist <math>I_G</math> das Trägheitsmoment für den Fall, dass die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. m ist die Masse des Körpers und l der Abstand von Drehachse und Schwerpunkt.

oder in Worten:

Das Trägheitsmoment eines starren Körpers in Bezug auf eine Achse A ist gleich dem Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf eine zu A parallele Achse durch seinen Massenmittelpunkt plus dem Produkt aus Masse m des Körpers und Quadrat des Abstandes l beider Achsen.

Anwendung auf Flächenträgheitsmomente

Liegt der Flächenschwerpunkt eines Körpers nicht im Ursprung des Koordinatensystems, kann sein Flächenträgheitsmoment mit dem Satz von Steiner berechnet werden:

<math>I_{\bar y} = I_y + \bar z^2_S A</math>

<math>I_{\bar z} = I_z + \bar y^2_S A</math>

<math>I_{\bar y \bar z} = I_{yz} + \bar y_S \bar z_S A</math>

Für I_y wird der Abstand des Flächenschwerpunktes zum Ursprung quadriert (z_S²), mit der Fläche des Querschnitts (A) multipliziert und auf das (tabellarisch erfasste) Flächenträgheitsmoment addiert. Es ist ersichtlich, dass bei z=0 der Steiner-Term wegfällt.

Praktisch ist, dass man mit diesen Formeln komplexe (z.B T-Träger) in einfache Körper (z.B. Rechtecke) aufteilen kann, deren Flächenträgheitsmoment bereits bekannt ist.

Für I_y gilt dann beispielsweise:

<math>I_y = \int_{A} z^2 \ \mathit{d}A = \int_{A_1} z^2 \ \mathit{d}A + \int_{A_2} z^2 \ \mathit{d}A + \cdots + \int_{A_n} z^2 \ \mathit{d}A = I_{\bar y1} + I_{\bar y2} + \cdots + I_{\bar yn}</math> ,

wobei A die Fläche der Figur ist und A₁ bis A_n die durch die Zerlegung entstandenen Teilflächen sind.