Satz von Radon-Nikodym

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In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodym die Ableitung auf signierte Maße. Er gibt Auskunft über die Darstellbarkeit eines signierten Maßes <math>\nu\!</math> durch das Lebesgue-Integral einer Funktion <math>f\!</math> und ist von zentraler Bedeutung sowohl für die Maß- als auch die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Sei <math>\mu</math> ein σ-endliches Maß auf dem Messraum <math>(X,\mathcal{A})</math> und sei <math>\nu</math> absolut stetig bezüglich <math>\mu</math> (<math>\nu \ll \mu </math>) für ein signiertes Maß <math>\nu</math>.

Dann gibt es eine <math>\mu</math>-fast überall eindeutige Funktion f, so dass

<math>\forall E \in \mathcal{A}: \nu(E) = \int_{E} f \mathrm{d}\mu</math>

f wird als (Radon-Nikodym-)Dichte oder Radon-Nikodym-Ableitung von <math>\nu</math> bezüglich <math>\mu</math> bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als <math>\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}</math> geschrieben.

Benannt ist der Satz ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall <math>\R^n</math> bewiesen hat, und nach Otton Marcin Nikodym, der den allgemeinen Fall 1930 bewiesen hat.