Satz von Pick

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Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters)

Der Satz besagt:

Sei A der Flächeninhalt des Polygons, I die Anzahl der Gitterpunkte im Inneren des Polygons und R die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Polygons, dann gilt:

<math>A = I + R/2 - 1</math>

Bild:Gitterpolygon.png In dem nebenstehenden Beispiel ist <math>R = 12</math> und <math>I = 40</math>. Die Fläche dieses Polygons beträgt somit <math>40+6-1 = 45</math> Gitterquadrateinheiten.

Der Satz von Pick kann dazu benutzt werden, um die eulersche Polyederformel zu beweisen.

Siehe auch

• Ehrhart-Polynome Verallgemeinerung auf drei Dimensionen

Web Links

• Kolumne der Web Site Cut The Knot!
• Vorlesung von Michael Nüsken (Beachte Gegenbeispiele!)
• Archimedes' Stomachion