Riemannsche Vermutung
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Die riemannsche Vermutung oder riemannsche Hypothese (nach Bernhard Riemann) ist eine Annahme über die Nullstellen der riemannschen Zetafunktion. Sie besagt, dass alle Nullstellen dieser komplexwertigen Funktion den Realteil ½ besitzen. Ob die Vermutung zutrifft oder nicht, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Mathematik.
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Die riemannsche Zetafunktion
Die riemannsche Zetafunktion ist eine komplexwertige Funktion, die durch die folgende Reihe definiert ist:
- <math>
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
\qquad ( s \in \mathbb{C} \ \mathrm{und} \ \mathrm{Re}\,s>1 )
</math>,
Dabei bezeichnet <math>\mathrm{Re}\,s</math> den Realteil der komplexen Veränderlichen s. Auch wenn diese Darstellung nur für <math> \mathrm{Re}\,s >1 </math> gilt, lässt sich die Funktion auf die gesamte komplexe Ebene mit Ausnahme von <math>s=1</math> analytisch fortsetzen. Im Punkt <math>s = 1 </math> besitzt sie einen einzigen einfachen Pol.
Eine der wichtigsten Eigenschaften der riemannschen Zetafunktion ist ihr Zusammenhang mit den Primzahlen. Sie stellt eine Beziehung zwischen komplexer Analysis und analytischer Zahlentheorie her und bildet den Ausgangspunkt der riemannschen Vermutung. Der folgende Ausdruck stellt den Zusammenhang formelhaft dar als
- <math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}= \prod_p \Big( 1 - \frac{1}{p^s} \Big) ^{-1}
= \frac1{\big(1-\frac1{2^s}\big)\big(1-\frac1{3^s}\big)\big(1-\frac1{5^s}\big)\cdots},
</math> wobei <math> \Pi_p </math> ein unendliches Produkt über alle Primzahlen p darstellt.
Riemannsche Vermutung
Die riemannsche Vermutung ist eine Aussage über die Lage der Nullstellen der auf die komplexe Halbebene <math>\operatorname{Re}(s) > 0 </math> fortgesetzten Zetafunktion. Sie besitzt die „trivialen“ Nullstellen <math>s = -2,\; -4, \; -6, \dots </math>. Es ist bekannt, dass alle anderen, „nicht-trivialen“ Nullstellen in dem Streifen
- <math>\{s\in\mathbb C\mid 0<\mathrm{Re}\,s<1\}</math>
liegen. Die Vermutung von Bernhard Riemann aus dem Jahre 1856 besagt, dass sie sogar auf der Geraden
- <math>
s = {1\over 2} + \mathrm i\,t
\qquad ( t \in \R )
</math>
liegen, also den Realteil <math>1/2</math> besitzen. Dabei steht i für die imaginäre Einheit.
Bedeutung
Aus der riemannschen Vermutung folgt eine Restgliedabschätzung im Primzahlsatz:
- <math>\pi(x) = \mathrm{Li}\,x+O(\sqrt x\cdot\log x);</math>
dabei ist
- <math>\mathrm{Li}\,x=\int_2^x\frac{\mathrm dt}{\log t}.</math>
Geschichte
Der Beweis der riemannschen Vermutung wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Liste von 23 mathematischen Problemen als Jahrhundertproblem deklariert. Da im 20. Jahrhundert eine Lösung nicht gefunden wurde, hat das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 dieses Vorhaben erneut zu einem der wichtigsten mathematischen Probleme erklärt und einen Preis von einer Million US-Dollar auf einen schlüssigen Beweis der riemannschen Vermutung ausgesetzt, allerdings nichts für ein Gegenbeispiel.
Im Jahr 2001 wurde mit Hilfe von Großrechnern gezeigt, dass die ersten zehn Milliarden Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion alle die riemannsche Vermutung erfüllen, d.h. sie liegen alle auf der Geraden mit Realteil <math>1/2</math>.
Die beiden französischen Mathematiker Gourdon und Demichel starteten mit dem Verfahren von Odlyzko und Schönhage im Jahr 2004 einen neuen Versuch und hatten im Oktober 2004 die ersten 10 Billionen Nullstellen überprüft.
Im Juni 2004 hat Louis de Branges de Bourcia zum wiederholten Male einen angeblichen Beweis veröffentlicht, der derzeit kritisch geprüft wird. Derselbe Autor hat allerdings in den letzten Jahren mehrmals Beweise publiziert, die sich als falsch herausstellten. Ob dies auch bei dem aktuellen so ist, wird sich zeigen.
Weblinks
- ZetaGrid Projekt
- Grafiken der Riemannschen Zeta-Funktion
- Graph der Riemannschen Zeta-Funktion (Animation)
