Riemann-Integral

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Das Riemann-Integral (nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann) ist eine Methode zur Bestimmung des Flächeninhaltes zwischen der x-Achse und einer beschränkten Funktion f innerhalb eines Intervalls.

Definition der Existenz

Man sagt, dass das Riemann-Integral existiert, wenn die darbouxschen Summen gegen denselben Grenzwert konvergieren.

Die darbouxschen Summen (Ober- bzw. Untersumme) sind dabei wie folgt definiert: Man betrachtet ein Intervall [a, b], welches man in eine Zerlegung Z, d. h. in N Teilintervalle (auch bekannt als Streifenmethode des Archimedes)

<math>I_i=[t_{i-1}, t_i]</math> mit <math>a=t_0<t_1<...<t_{N-1}<t_N=b</math>, zerlegt.

<math>\overline{S_N} = \sum_{i=1}^{N} \sup(f(t):t \in [t_{i-1},t_i])\cdot(t_i-t_{i-1})</math>

heißt darbouxsche Obersumme,

<math>\underline{S_N} = \sum_{i=1}^{N} \inf(f(t):t \in [t_{i-1},t_i])\cdot(t_i-t_{i-1})</math>

entsprechend darbouxsche Untersumme.

Die Grenzwerte <math>\overline{\int_a^b{f}} = \inf_Z {\overline{S_N}}</math> bzw. <math>\underline{\int_a^b{f}} = \sup_Z {\underline{S_N}}</math> für eine beliebige Zerlegung <math>Z</math>, heißen Ober- bzw. Unterintegral.

Falls gilt: <math>\overline{\int_a^b{f}} = \underline{\int_a^b{f}}</math>, so konvergieren die darbouxschen Summen gegen den Grenzwert <math>\int_a^b{f}</math>, welcher Riemann-Integral genannt wird.

Ein Beispiel einer nicht Riemann-intergrierbaren Funktion ist die Dirichlet-Funktion.

Uneigentliche Integrale

Als uneigentliche Integrale bezeichnet man

  • Integrale mit den "Intervallgrenzen" <math>-\infty</math> oder <math>\infty</math>; dabei ist <math>\int_{-\infty}^{\infty} = \lim_{a,b \rightarrow \infty} \int_{-a}^b</math>
  • Integrale mit unbeschränkten Funktionen in einer der Intervallgrenzen; dabei ist <math>\int_a^b = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{a+\epsilon}^b</math> oder <math>\int_a^b = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_a^{b-\epsilon}</math>


Im Sinne von Newton, welcher dieses Integral in seinen Principia zum ersten Male deutlich aussprach, versteht auch Riemann die Existenz des bestimmten Integrales als Grenzwert einer Summe von Rechtecken für den Fall, dass die Breite der Elementarflächen gegen Null geht.

Weblinks

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