Reynolds-Zahl

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Die Reynolds-Zahl (Formelzeichen: <math>Re</math>) ist eine nach dem Physiker Osborne Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl. Sie wird in der Strömungslehre verwendet und stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar. Für eine ideale Flüssigkeit ohne Viskosität ist das Verhältnis unendlich.

<math> Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu} </math> mit: <math> \mu = \nu \rho</math>

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

• <math>v</math> - Betrag einer für den Anwendungsfall charakteristischen Geschwindigkeit (bspw. in SI-Einheiten m/s),
• <math>L</math> - charakteristische Länge des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten m),
• <math>\mu</math> - charakteristische dynamische Viskosität des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten kg / (s * m)),
• <math>\nu </math> - charakteristische kinematische Viskosität des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten m² / s),
• <math>\rho</math> - charakteristische Dichte des Anwendungsfalles (bspw. in SI-Einheiten kg / m³)).

Überschreitet die Reynolds-Zahl einen (problemabhängigen) kritischen Wert (<math>Re_{\rm krit}</math>) wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleinste Störungen. Entsprechend ist für <math>Re>Re_{\rm krit}</math> mit einem Umschlag (Transition) von laminarer in turbulente Strömung zu rechnen.

Anwendungen

Das Diagramm rechts vergleicht Geschwindigkeiten und zugehörige Reynolds-Zahlen einiger Flugobjekte. Beispielsweise sind die Reynolds-Zahlen von Luftschiffen höher als die von Flugzeugen. Sie fahren zwar langsamer, sind aber deutlich größer.

Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Größe innerhalb der Ähnlichkeitstheorie. Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen, so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein ähnliches Strömungsfeld zu erhalten. Entsprechend muss bei einem um einen Faktor f verkleinerten Modell das Verhältnis <math>v/\nu</math> um den Faktor f erhöht werden. Da die Maximalgeschwindigkeit begrenzt ist, senkt man in Kryo-Windkanälen zusätzlich die Viskosität der Luft durch Kühlung. Auf diese Weise sind Reynolds-Zahlen von bis zu 50·10⁶ in Probenkammern von zwei Metern Durchmesser erreichbar. Dieses Vorgehen ist allerdings sehr teuer, da hier meist mit flüssigem Stickstoff der Kanal mitsamt Modell abgekühlt werden muss. Beim Abkühlen muss darauf geachtet werden, dass sich keine Vereisungen bilden.

Staubkörner sind sehr klein. Wenn sie durch die Luft fallen, haben sie eine ähnliche Reynolds-Zahl wie ein Fisch (siehe Diagramm). Ein Fisch ist zwar ca. 10000mal größer, bewegt sich aber in Wasser mit einer 10000fach höheren Viskosität als Luft.

Beispiele

Rohrströmung

Bei Rohrströmungen werden als charakteristische Größen der Innendurchmesser L = d, der Betrag der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit <math>v=v_{\rm m}</math> und die Viskosität des Fluids <math>\nu</math> verwendet.

<math> Re = \frac{v_{\rm m} d}{\nu}</math>.

Es gilt dann: <math>Re_{\rm krit} \approx 2320</math>

Gerinneströmung

Bei Gerinneströmungen werden als charakteristische Größen die Fließtiefe L = h, der Betrag der mittleren Fließgeschwindigkeit über den durchflossenen Querschnitt <math>v=v_{\rm m}</math> und die Viskosität des Fluids <math>\nu</math> verwendet.

<math> Re = \frac{v_{\rm m} h}{\nu}</math>

Beurteilung einer turbulenten Strömung

Um den Turbulenzgrad zu charakterisieren kann die Reynolds-Zahl auch mit turbulenzbezogenen Größen gebildet werden (turbulente Reynolds-Zahl <math>Re_{\rm t}</math>). Als charakteristische Größen werden dann bspw. die Varianz der Geschwindigkeit <math>v=v'</math> und das integrale Längenmaß L = l der Strömung verwendet. Hinzu kommt die (molekulare) Viskosität des Fluids <math>\nu</math>.

<math> Re_{\rm t} = \frac{v' l}{\nu}</math>

Es gilt dann: <math>Re_{\rm t,\, krit}\approx 1</math>