Restklasse

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Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl <math>a</math> modulo einer Zahl <math>m</math> die Menge aller Zahlen, die bei Division durch <math>m</math> denselben Rest lassen wie <math>a</math>.

Definition

Es sei <math>m</math> eine von 0 verschiedene ganze Zahl und <math>a</math> eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von <math>a</math> modulo <math>m</math>, geschrieben

<math>a + m \mathbb{Z},</math>

ist die Äquivalenzklasse von <math>a</math> bezüglich der Kongruenz modulo <math>m</math>. Sie besteht aus allen ganzen Zahlen <math>b</math>, die sich aus <math>a</math> durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von <math>m</math> ergeben:

<math>a + m \mathbb{Z} = \{ b\mid b=a+km\ \mathrm{f\ddot ur\ ein}\ k\in\mathbb Z\}=\{ b \mid b \equiv a \pmod m \}.</math>

Die Menge aller Restklassen modulo <math>m</math> schreibt man häufig als <math>\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}</math>. Sie hat die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt.

Eine Restklasse modulo <math>m</math> heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu <math>m</math> sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten <math>(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times</math> im Restklassenring <math>\mathbb Z/m\mathbb Z</math>; sie wird prime Restklassengruppe genannt.

Beispiele

• Die Restklasse von 4 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
• Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
• Die Restklasse von 0 modulo <math>m</math> ist die Menge der Vielfachen von <math>m</math>.
• Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge <math>\{1,4,7,10,\ldots,-2,-5,-8,\ldots\}.</math>

Verallgemeinerung

Ist <math>A</math> ein Ring und <math>I\subseteq A</math> ein Ideal, so heißen Mengen der Form

<math>a+I=\{a+i\mid i\in I\}</math>

Restklassen modulo <math>I</math>. Ist <math>A</math> kommutativ, oder ist <math>I</math> ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge <math>A/I</math> der Restklassen modulo <math>I</math> eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo <math>I</math>.