Relativistische Masse

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Relativistische Masse ist eine Überinterpretation verschiedener Gleichungen aus den Anfangstagen der speziellen Relativitätstheorie. Das Konzept der relativistischen Masse bzw. der relativistischen Massenzunahme relativ zum ruhenden Beobachter bewegter Körper bietet sich interpretatorisch zunächst an, führt jedoch aus mathematischer Sicht in eine konzeptionelle Sackgasse und ist didaktisch kontraproduktiv. In der theoretischen Physik wird das Konzept der relativistischen Masse heute nicht mehr verwendet. In populärwissenschaftlichen Büchern und teilweise auch Vorlesungen zur Experimentalphysik ist es heute jedoch immer noch verbreitet.

Wie es dazu kam

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Zusammenhang zwischen Impuls und newtonsch definierter Geschwindigkeit

<math>\vec p = \frac{m_0 \cdot \vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} </math>

Hierbei ist <math>m_0</math> die in diesem Konzept sogenannte Ruhemasse. Weiterhin kann man die Summe aus Ruhe- und Bewegungsenergie eines relativ zum ruhenden Beobachter bewegten Körpers schreiben als

<math>E = \frac{m_0 \cdot c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

Diese beiden Gleichungen haben in den frühen Tagen der Relativitätstheorie dazu geführt, dass die Physiker den Wurzelfaktor als eng verknüpft mit der Masse betrachtet

<math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

und als relativistische Masse bezeichnet haben.

Kritik und moderner Ansatz

Dies ist jedoch eine Überinterpretation in dem Sinne, dass in beiden Gleichungen nur eine Reihe von Größen miteinander verknüpft werden, um eine weitere Größe zu berechnen. Zudem ist das Konzept riskant, da es dazu verleitet, in anderen Newtonschen Gleichungen ebenfalls einfach die Masse durch diesen Term zu ersetzen, was in der Regel nicht zur korrekten relativistischen Gleichung führt. Zum Beispiel gilt für den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Kraft relativistisch:

<math>\vec F = \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} = \frac{m\vec a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - \frac{2m\vec v(\vec v\cdot\vec a)}{c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}</math>

Ersetzt man jedoch in der Newtonschen Beziehung <math>\vec F=m\vec a</math> die Masse durch die relativistische Masse, so erhält man nur den ersten Summanden, und somit ein nicht nur quantitativ, sondern in den meisten Fällen auch qualitativ falsches Verhalten: In der korrekten relativistischen Formel erfolgt die Beschleunigung im Allgemeinen nicht in Richtung der Kraft.

Tatsächlich ist es für ein tieferes Verständnis der Theorie äußerst hilfreich den Wurzelfaktor in der Gleichung für den Impuls zur Geschwindigkeit zu packen:

<math>\vec u = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\vec v = \frac{d\vec x}{d\tau} \mbox{ mit der Eigenzeit } \tau</math>

Sinnvoll ist dies, da die vierdimensionale Verallgemeinerung der so definierten Geschwindigkeit unter Lorentztransformation (Übergang in ein anderes Bezugssystem) dieselben Transformationseigenschaften hat, wie der (vierdimensionale, nullte Dimension ist die Zeit) Ortsvektor. Gleichzeitig wird man auf diese Weise die relativistische Masse los und arbeitet fortan nur noch mit der Ruhemasse <math>m_0</math>, die sich unter Lorentztransformation nicht ändert (ein Skalar ist), also für jeden Beobachter in jedem Bezugssystem den gleichen Wert hat. Man betrachtet die Masse heute somit nicht mehr als veränderlich mit der Geschwindigkeit. Als Nachteil erhält man eine zunächst ungewöhnlich definierte „relativistische Geschwindigkeit“ <math>\vec u</math>. Da die Wurzel für in der Alltagswelt auftretende (also kleine) Geschwindigkeiten jedoch sehr nahe bei eins liegt, ist der Unterschied zwischen <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> im Alltag winzig. Es ist also zulässig <math>\vec u</math> als die korrekt definierte Geschwindigkeit und als Korrektur zur (bei hohen Geschwindigkeiten unzweckmäßigen) Geschwindigkeit <math>\vec v</math> Newtons zu betrachten. <math>\vec u</math> gibt dabei an, welche Strecke pro Eigenzeit zurückgelegt wird und kann im Gegensatz zu <math>\vec v</math> beliebig groß werden. Beispielsweise bedeutet <math>u=1 \mathrm{Lichtjahr/Sekunde}</math> eine Geschwindigkeit, bei der man in jeder Sekunde Eigenzeit 1 Lichtjahr zurücklegt (mit dieser Geschwindigkeit würde man in 4 subjektiven Sekunden von der Erde zum nächsten Fixstern Alpha Centauri reisen). Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit entspricht einem unendlich hohen Wert von <math>u</math>, insofern ist unmittelbar einsichtig, dass nichts schneller als das Licht sein kann: Schneller als unendlich schnell geht nicht.

Der heute üblicherweise verwendete Ausdruck für den Zusammenhang zwischen Energie und Größen der Bewegung ist

<math> E^2 = (\vec p \cdot \vec p) \cdot c^2 + m_0^2 \cdot c^4</math>

welche sich unmittelbar aus der Invarianz unter Lorentztransformation des Skalarproduktes des vierdimensionalen relativistischen Impulses mit sich selbst ergibt:

<math> p_\mu \cdot p^\mu = m_0^2 c^2 </math>

Hinweis: Das Skalarprodukt eines ko- mit einem kontravarianten Vektors ist in Minkowskimetrik bzw. im Minkowskiraum: <math> p_\mu \cdot p^\mu = p_0 \cdot p_0 + (\vec p)\cdot (-\vec p)</math>

Diskussion

Auch der Impuls hat dieselben Transformationseigenschaften wie die Geschwindigkeit u und der Ortsvektor x. Gibt man also das interpretatorische Konzept der relativistischen Masse auf, bleiben als Rechengrößen nur noch Größen, auf die die exakt gleiche Operation angewandt werden muss, wenn man ihren Wert in einem anderen Bezugssystem berechnen möchte. Dies ist der große Vorteil des Konzeptes, das ohne relativistische Massenzunahme auskommt.