Rationale Funktion
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Rationale Funktion ist ein Begriff aus der Mathematik. Eine rationale Funktion ist eine mathematische Funktion, die sich als Quotient zweier Polynome schreiben lässt:
<math> f(x)=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots a_n x^n}{b_0+b_1 x + b_2 x^2 +\cdots + b_m x^m}. </math>
Sie wird auch gebrochen rationale Funktion genannt. Die Nullstellen einer solchen Funktion werden durch die Nullstellen des Polynoms im Zähler bestimmt. Sie ist nicht definiert, falls der Nenner eine Nullstelle hat. Für das Verhalten für x gegen Unendlich sind die Grade der Polynome entscheidend:
- Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, geht der Wert der rationalen Funktion gegen Unendlich mit x gegen Unendlich.
- Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so geht die Funktion gegen Null mit x gegen Unendlich.
- Sind die Grade gleich, so strebt sie asymptotisch gegen einen endlichen Wert.
Aussehen des Schaubildes
Anhand des Funktionsterms lassen sich Aussagen zum Aussehen des Schaubildes machen.
1. Symmetrie
Eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) ist gerade/ungerade, wenn alle Exponenten gerade/ungerade sind.
<math>f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}</math>
Symmetrisch zur y-Achse:
<math>\frac{gerade}{gerade}</math> oder <math> \frac{ungerade}{ungerade}</math>
Punktsymmetrisch zum Ursprung:
<math> \frac{gerade}{ungerade}</math> oder <math> \frac{ungerade}{gerade}</math>
Ansonsten ist keine Symmetrie aus der Gleichung erkennbar.
Generell gilt:
Nullstellen von p -> Nullstellen von f
Nullstellen von q -> Polstellen von f
Ausnahme: Nullstellen die sowohl zu p als auch zu q gehören.
- Zugehöriger Linearfaktor kommt im Nenner öfter vor als im Zähler
- => an der Stelle ist eine Polstelle
- Zugehöriger Linearfaktor im Nenner nicht öfter als im Zähler
- => an der Stelle ist eine stetig behebbare Definitionslücke
3. Asymptote
Durch Teilen von p durch q lässt sich eine ganzrationale Funktion g abspalten:
<math>f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = g(x) + r(x)</math>
g(x) = Funktionsterm der Asymptote; r(x) gebrochen rational
Abspalten nur bei 3. und 4. notwendig.
- <math>n < m</math> => x-Achse ist Asymptote: <math>g(x) = 0</math>
- <math>n = m</math> => waagrechte Asymptote: <math>g(x) = \frac{a_n}{b_n}</math>
- <math>n = m + 1</math> => schräge Asymptote: <math>g(x) = mx + c \,; m \ne 0</math>
- <math>n > m \,; n \ne m +1</math> => ganzrationale Näherungsfunktion
