Polstelle

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Eine Polstelle einer Funktion <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} </math> in der Mathematik liegt vor, wenn die Beträge der Werte der Funktion in der Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden (gegen Unendlich streben).

Der Graph der Funktion verschwindet bei Annäherung an die Polstelle im Unendlichen. Die Funktion hat an der Polstelle einen uneigentlichen Grenzwert, also plus oder minus unendlich. Der Graph besitzt an der Polstelle eine vertikale Asymptote.

Polstellen treten etwa bei gebrochen rationalen Funktionen <math>f(x)</math> auf, die als Bruch zweier Funktionen <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> entstehen:

<math>f(x)= \frac{u(x)}{v(x)},</math>

Wenn die Nennerfunktion <math>v(x)</math> eine n-fache Nullstelle besitzt, die Zählerfunktion aber an derselben Stelle nicht auch mindestens n-fach Null ist, liegt eine Polstelle vor. Der Fall, dass Zähler- und Nennerfunktion gleichzeitig Null werden, ist im Artikel "Stetig behebbare Definitionslücke" behandelt.

Polstellen treten aber nicht nur bei der Division von Funktionen mit Nullstellen auf. Die Logarithmus- und die Tangensfunktion sind Beispiele.

Inhaltsverzeichnis 1 Spezialfall rationaler Funktionen 1.1 Beispiel 1.2 Ordnung von Polstellen 2 Allgemeine Funktionen 2.1 Beispiele 3 Siehe auch

Spezialfall rationaler Funktionen

Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form

<math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} , </math>

wobei <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> Polynomfunktionen sind.

Da <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> Polynome sind, ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt: die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> an der Stelle <math>x_0</math> eine Nullstelle haben, so ist immer

<math> u(x) = ( x - x_0 )^{N_u} \; s(x) </math>

und

<math> v(x) = ( x - x_0 )^{N_v} \; t(x) </math>

wobei

<math> s(x_0) \ne 0 \and t(x_0) \ne 0. </math>

Die natürlichen Zahlen <math>N_u</math> und <math>N_v</math> bezeichnet man auch als die Ordnung der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen kürzen.

Wenn <math>N_u > N_v > 0</math>, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.

Wenn <math>N_u = N_v > 0</math>, dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch <math> s(x_0) / t(x_0) </math> gegeben ist.

Wenn <math> N_u < N_v </math>, dann liegt eine Polstelle vor.

Derartige Polstellen werden nach ihrer Ordnung <math>N_u - N_v</math> bezeichnet.

Beispiel

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{1}{x} </math>

hat einen Pol 1. Ordnung bei <math>x = 0</math>.

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{1}{(x-2)^3} </math>

hat einen Pol 3. Ordnung bei <math>x = 2</math>.

Die Funktion

<math> f(x) = \frac{x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+2)}{(x+1)^2(x-1)} </math>

hat für <math>x = -1</math> eine Polstelle der Ordnung 2, und für <math>x = 1</math> eine Polstelle 1. Ordnung.

Ordnung von Polstellen

Die Ordnung des Pols beschreibt gleichzeitig das Verhalten des Funktionsgraphen an der Polstelle. Bei einem Pol ungerader Ordnung springt der Graph aus dem positiven in den negativen Wertebereich oder umgekehrt. Bei der beidseitigen Untersuchung des Grenzwertes an der Polstelle macht sich dies in unterschiedlichen Vorzeichen der beiden Ergebnisse deutlich. Man spricht auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Ein Pol gerader Ordnung liegt vor, wenn der Graph sowohl links als auch rechts der Polstelle im Wertebereich mit dem gleichen Vorzeichen erscheint. Die beidseitigen Grenzwerte haben dann auch ein identisches Vorzeichen. Man spricht auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Allgemeine Funktionen

Aussagen zu allgemeinen Funktionen sind nicht möglich. Unstetige Funktionen können ein beliebiges Verhalten zeigen, und sind individuell zu untersuchen.

Untersuchungsmethoden stammen aus der reellen Analysis.

Beispiele

Die Funktion (Kehrwert des Sinus)

<math> f(x) = \frac{1}{\sin x} </math>

hat einfache ungerade Pole bei allen ganzzahligen Vielfachen von π.

Die Tangensfunktion

<math> f(x) = \tan x </math>

hat ungerade Pole bei allen <math>x = (n+1/2)\pi</math> (<math>n</math> ganzzahlig).

Die Logarithmusfunktion

<math>f(x) = \log x</math>

hat einen Pol an der Stelle <math>x = 0</math>, und ist im Reellen für negative Werte undefiniert.

Siehe auch

Singularität (Mathematik)