Polarkoordinaten

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Dieser Artikel behandelt Polarkoordinaten der Ebene sowie die eng damit verwandten Zylinderkoordinaten im Raum. Für räumliche Polarkoordinaten siehe den Artikel Kugelkoordinaten.

Inhaltsverzeichnis 1 Ebene Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten) 2 Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen 3 Zylinderkoordinaten 3.1 Umrechnung kartesisch und zylindrisch 4 Weitere Artikel zum Thema

Ebene Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten)

Die Polarkoordinaten (auch: Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (einem Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben

Bild:Ebene polarkoordinaten.PNG

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergeben sich

x = r cos ( φ ) und

y = r sin ( φ )

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen.

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man

<math>\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}=\begin{vmatrix}

 \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
 \sin\varphi & r\cos\varphi

\end{vmatrix}=r</math>

Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen

Polar zu kartesisch lässt sich folgendermaßen umrechnen:

<math>x=r\,\cos\varphi</math>

<math>y=r\,\sin\varphi</math>

Für kartesisch zu polar gelten die folgenden Formeln:

<math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>

<math>\varphi = \begin{cases}\arccos\frac{x}{r} & \mathrm{f\ddot ur}\ y\geq0 \\[,5em] -\arccos\frac xr & \mathrm{f\ddot ur}\ y < 0\end{cases} </math>

Einige Programmier- und Skriptsprachen benutzen eine bivariate "Arkustangens"-Funktion atan2(y,x), die den korrekten Wert für φ für jedes gegebene x und y findet.

Zylinderkoordinaten

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.

Bild:Zylinderkoordinaten.PNG

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich

x = r cos ( φ ),

y = r sin ( φ ) und

z = h

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung sondern von der z-Achse.

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

<math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)}=\begin{vmatrix}

 \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\
 \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\
 0 & 0 & 1

\end{vmatrix}=r</math>

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

<math>\mathrm{d}V=r \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}h</math>

Umrechnung kartesisch und zylindrisch

<math>x=r\,\cos\varphi</math>

<math>y=r\,\sin\varphi</math>

<math>z=h \quad</math>

<math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>

<math>\varphi

=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \sgn y </math>

<math>h=z \quad</math>

<math>

\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&r\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix} </math>

<math>

\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix} </math>

Weitere Artikel zum Thema

Siehe auch: Koordinate, geografische Koordinaten, Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Box-Muller-Verfahren