Nilpotente Matrix

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In der linearen Algebra bezeichnet man eine quadratische Matrix <math>\mathbf{A}</math> als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt. Es gibt also ein n, so dass <math>\mathbf{A}^n = 0</math> gilt.

Als Standardbeispiel wird oft die folgende Matrix angeführt:

<math>\mathbf{A}=\begin{pmatrix}

0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

Äquivalente Definitionen

Zu der Aussage, dass <math>A</math> nilpotent mit dem Nilpotenzgrad <math>n</math> ist, sind folgende Aussagen äquivalent:

• <math>A^n = 0</math> (Definition von Nilpotenz).
• das charakteristische Polynom von <math>A</math> hat die Form <math>p_A(\lambda) = (-1)^n x^n</math>.
• <math>A</math> ist ähnlich zu einer echten oberen Dreiecksmatrix:

  <math>A = P^{-1} \begin{pmatrix}0 & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n} \\

 0 & \ddots  & \ddots & \vdots \\
 \vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1,n} \\
 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix} P</math>

Eigenschaften nilpotenter Matrizen

Wenn eine Matrix <math>A</math> nilpotent ist, wobei n die kleinste natürliche Zahl mit <math>A^n = 0</math> ist, dann...

• ist jeder Eigenwert selbst nilpotent: Aus <math>A v = \lambda v</math> folgt <math>0 = A^n v = \lambda^n v</math>, und wegen <math>v \neq 0</math> ist <math>\lambda^n=0</math>. Für Matrizen über den reellen oder komplexen Zahlen folgt daraus, dass die Matrix nur den Eigenwert 0 haben kann.
• hat sie einen Eigenwert Null: Da <math>A^{n-1} \neq 0</math> gibt es einen Vektor <math>v \neq 0</math> mit <math>w := A^{n-1} v \neq 0</math>. Dann ist <math>A w = A^n v = 0</math> und <math>w</math> ist Eigenvektor zum Eigenwert 0.
• ist sie nicht invertierbar, da einer ihrer Eigenwerte Null ist.
• ist die Determinante Null: <math>\det(A) = 0 </math>.
• hat sie keinen vollen Rang, d.h. ihre Spaltenvektoren sind linear abhängig. Es sind jedoch nicht alle quadratischen Matrizen mit linear abhängigen Spalten auch gleichzeitig nilpotent.
• ist <math>(E-A)</math> immer invertierbar (<math>E</math> ist die Einheitsmatrix): Es ist <math>(E-A)(E+A+A^2+...+A^{n-1}) = E-A^n = E</math>.

Da eine nilpotente Matrix ein Spezialfall eines nilpotenten Elements eines Ringes ist, gelten die im Artikel Nilpotenz gegebenen allgemeinen Aussagen auch hier.