Modelltheorie
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Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Logik (syntaktische Ebene) und deren Bedeutung (semantische Ebene). Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. Wichtige Bereiche der Modelltheorie betreffen die Zuordnung von Wahrheitswerten zu formalen Sätzen und die Beziehung formal-logischer Systeme zur natürlichen Sprache.
Die Bedeutung der Modelltheorie für die Mathematik liegt vor allem darin, dass aus der Existenz eines Modells für ein Axiomensystem die Widerspruchsfreiheit dieses Axiomensystems folgt. Dieses Argument wird vor allem angewendet, um die Widerspruchsfreiheit der Axiome der Mengenlehre mit gewissen Zusatzannahmen zu zeigen.
Typische Fragen in der Modelltheorie sind, zu welchen Kardinalitäten sich für ein gegebenes Axiomensystem Modelle schaffen lassen. So ist diese Frage für die Körperaxiome vollständig geklärt: Primzahlen und Primzahlpotenzen sind die alleinigen Kardinalitäten endlicher Modelle. Diese Menge natürlicher Zahlen heißt dann Spektrum der Körperaxiome.
Offen ist die Frage, ob das Komplement eines Spektrums stets wieder ein Spektrum ist: Gesucht ist also eine Axiomenmenge dergestalt, dass alle endlichen Modelle eine Kardinalität im Komplement des Spektrums darstellen. Interessanterweise hängt diese Frage mit der NP=Co-NP-Frage aus der Komplexitätstheorie zusammen.
