Iteration
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Die Iteration (von lateinisch iterare, "wiederholen") ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet eine Methode, sich der Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber zielgerichtet anzunähern. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens.
Meistens iteriert man mit Rückkopplung: Die Ergebnisse eines Iterationsschrittes werden als Ausgangswerte des jeweils nächsten Schrittes genommen - bis das Ergebnis (beziehungsweise Veränderung einer Bestandsgröße) zufrieden stellt. Manchmal setzt man den nächsten Schritt aus den Ergebnissen der vorherigen zwei Schritte (oder von noch mehr Schritten) an, zum Beispiel bei der Regula Falsi.
Der Mathematiker muss dann noch beweisen, dass die Iterationsfolge konvergiert und dass der Grenzwert mit der gesuchten Lösung übereinstimmt. Die Geschwindigkeit der Konvergenz ist ein Maß dafür, wie brauchbar die Iterationsmethode ist.
Anwendung der Methode:
- In Fällen, in denen das Ergebnis nicht geschlossen berechenbar ist (zum Beispiel transzendente Kepler-Gleichung) oder nachgebessert werden muss (Gleichungssysteme);
- Häufig ist eine gute Näherung schon befriedigend. Speziell bei Anwendungsproblemen können die Eingabedaten fehlerbehaftet sein, dann ist die exakte Lösung des gegebenen Problems nicht notwendigerweise besser als ihre Approximation. Das Iterationsverfahren ist also dann attraktiv, wenn es eine gute Näherung schneller liefert, als die Berechnung der exakten Lösung braucht.
- Manche Funktionen auf Taschenrechnern oder Fraktale werden beispielsweise iterativ berechnet.
Beispiel: Lösung einer Gleichung
Die Nullstelle (Wurzel) einer Gleichung ist iterativ oft rascher gefunden als mit exakten, geschlossenen Formeln:
- Probieren, wo die Nullstelle von y = f(x) ungefähr liegt
- zweimalige Berechnung von y mit x1 und x2
- Besserer Wert x3 mit der Regula Falsi, die ein annähernd gerades Kurvenstück annimmt:
- <math>x_3 = x_2 + y_2 \cdot \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} </math> und wiederholen, bis genau genug.
Effizienz versus Eleganz
Als Algorithmus ist die Iteration oft effizienter als der elegantere rekursive Weg. Beispiele sind die Berechnungen der Fakultät, der Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt als Grenzwert sowie das Wallissche Produkt mit der Kreiszahl Pi als Grenzwert.
Iteration in der Informatik
Neben der mathematischen iterativen Problemlösung wird in der Informatik auch von Iteration gesprochen, wenn ein Zugriff iterativ, das heißt schrittweise, beziehungsweise wiederholt, auf Datenstrukturen erfolgt. (z. B.: FOR-Schleife) Hierbei steht der Begriff Datenstruktur für Sammlungen von Objekten, Objektreferenzen oder Datentypen. Im Folgenden handelt es sich bei diesen Sammlungen (engl. collections) in der Regel um Arrays, Listen, Schlüssel-Wert-Paare (Maps, Hashes) oder Mengen (Sets).
Iteration in der Softwaretechnik
In der Softwaretechnik bezeichnet eine Iteration einen einzelnen Entwicklungszyklus, je nach Modell beginnend mit Planung, Analyse oder Entwurf, endend mit Implementierung, Test oder Wartung.
