Inversion (Geometrie)
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Die Inversion oder Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.
Für die Kreisspiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r ist der Bildpunkt P' eines Punktes P dadurch festgelegt, dass P' auf der Halbgeraden [MP liegen und die Bedingung
- <math>\overline{MP'} = \frac{r^2}{\overline{MP}}</math>
erfüllen muss. Dabei darf der ursprüngliche Punkt P nicht mit dem Mittelpunkt M übereinstimmen.
Geometrisch lässt sich der Bildpunkt P' folgendermaßen bestimmen:
- Liegt P auf dem gegebenen Kreis, so ist P' gleich P.
- Falls der Punkt P im Kreisinneren liegt, zeichnet man die zu der Geraden MP senkrechte Kreissehne durch P und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. P' ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.
- Liegt der Punkt P dagegen im Äußeren des Kreises, so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch P. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Geraden MP zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt P'.
Die Kreisspiegelung ist zwar winkeltreu, aber im Gegensatz zur Punkt-, Achsen- oder Ebenenspiegelung keine Kongruenzabbildung. Sie ist nicht einmal geradentreu. Geraden werden im Allgemeinen auf Kreise abgebildet. Nur Geraden durch den Kreismittelpunkt werden auf sich selbst abgebildet. Das Bild eines Kreises kann wieder ein Kreis oder auch eine Gerade sein. Die Kreisspiegelung ist eine Involution.
