Sechseck
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Bedeutung
Ein Sechseck oder auch Hexagon (von griechisch hexa sechs) ist ein Polygon (Vieleck) bestehend aus sechs Ecken und sechs Seiten.
Mathematische Zusammenhänge
Oft meint man mit Sechseck ein reguläres Sechseck. Dieses lässt sich sehr einfach aus einem Kreis konstruieren, indem man den Radius des Kreises sechsmal auf dem Kreisrand abträgt. Die erhaltenen Punkte sind die Ecken eines regulären Sechsecks. Die zugrundeliegenden Zusammenhänge beschrieb erstmals Euklid in seinem 15. mathematischen Satz des 4. Buchs "Die Elemente".
Die Summe eines regulären Sechsecks beträgt 720° und ergibt sich aus der Formel:
- <math> \sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ</math>
Der Winkel im regulären Sechseck beträgt
- <math> \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{2}{3} \cdot 180^\circ = 120^\circ</math>
Die mathematischen Beziehungen zwischen dem Radius des Umkreises, der Länge einer Seite des regulären Sechsecks und der Fläche beschreiben die folgenden Formeln:
<math> r_i = \frac{a}{2} \sqrt{3} </math>
Formel für die Flächenberechnung
<math> A = \frac{3}{2} a^2 \sqrt{3} </math>
Mit regelmäßigen Sechsecken kann man eine Ebene lückenlos füllen. Eine derartige Füllung heißt hexagonale Struktur. Diese Anordnung tritt häufig auch in der Natur auf (siehe "Vorkommen von Sechsecken und hexagonalen Strukturen").
Vorkommen von Sechsecken und hexagonalen Strukturen
Natur
- Kristallstrukturen: hexagonale Kristalle bildet z.B. natürliches Eis
- Schneeflocken: sind immer sechstrahlig
- Bienenwabe: die hexagonale Form der Wände ergeben ein nahezu optimales Verhältnis von Wandmaterial zu Volumen
- manche Aromaten wie Benzol, Toluol oder Naphthalin bilden sechseckige Ringstrukturen
Kunst, Kultur, Geographie & Politik
- Architektur: in vielen Kulturen war das Hexagon ein grundlegendes Element zur Gestaltung von Fenstern, Fliesen und Mosaiken. Beispiele sind Fresken am Dom zu Pisa oder Mauerelemente mancher Gebäude in Pompeji; ebenso befindet sich die Glastonbury Abbey innerhalb eines (gedachten) Hexagons
- M. C. Escher: viele seiner Mosaik-Variationen basieren auf Sechsecken
- Davidstern: verbindet man alternierende Eckpunkte eines Sechsecks erhält man ein Hexagramm, auch Davidstern genannt, das Symbol der israelischen Staatsflagge
- Frankreich: Aufgrund seiner Form wird das auf dem europäischen Festland gelegene Territorium Frankreichs auch als l'hexagone bezeichnet. Siehe auch (unten): zufällige Formenübereinstimmung.
- bei den kolumbianischen Desana-Indianern hatte das Sechseck fundamentale mythologische Bedeutung und umriss auch deren Territorium, wobei die sechs Ecken jeweils durch einen Wasserfall markiert waren
- Bei vielen Strategiespielen besonders bei so genannten Cosims (Konfliktsimulationsspiele) besteht das Spielfeld aus einem Sechseckraster auf einer Landkarte. Dadurch gibt es mehr Bewegungsrichtungen als bei einem Quadratraster (z.B. Schachbrett).
zufällige Formenübereinstimmung
- Wintersechseck: ein Sternenbild welches ein unregelmäßiges Sechseck bildet
- Landesform: das Hexagon ist das nationale Symbol Frankreichs, weil die Landesform in etwa sechseckig ist. Aus diesem Grund findet sich auf der Rückseite der französischen 1- und 2-Euro-Münzen ein stilisierter Baum in einem Hexagon, und der Marschall von Frankreich trägt seine sieben Sterne auf den Schulterstücken im Sechseck angeordnet.
Weblinks
- Euclid's Elements - Book IV Proposition 15 (engl.)
- Mathworld (engl.)
- Polygons, Tilings & Sacred Geometry - bebilderte Beispiele für Sechsecke in Kunst und Architektur (engl.)
Siehe auch
- Hexagramm
- Hexagonales Gitter
- Konstruktion eines relgemäßigen Sechsecks (Hexagon): Winkel (Geometrie)
- Wabe
- Euklids Elemente
