Hexadezimalsystem

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Im Hexadezimalsystem (griech. hexa = sechs, lat. decem = zehn, auch Sedezimalsystem von lat. sedecim = sechzehn) werden Zahlen in einem Stellenwertsystem mit der Basis 16 (also einem 16er-System) dargestellt. Es erlaubt eine wesentlich knappere und somit übersichtlichere Notierung als das früher in der Datenverarbeitung überwiegend benutzte Oktalsystem.

Wir sind gewöhnt, im Dezimalsystem ("10er-System") zu rechnen. Das bedeutet, unser "arabisches" Zahlensystem verwendet 10 Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen 16 Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. So lassen sich mit einer einstelligen hexadezimalen Zahl die Dezimalzahlenwerte von 0 bis 15 darstellen:

hexadezimal 0123456789ABCDEF10
dual 000000010010001101000101011001111000100110101011110011011110111110000
dezimal 012345678910111213141516
oktal 01234567101112131415161720

Dieses hexadezimale, alpha-numerische Mischsystem ist derzeit die Standardrepräsentation der hexadezimalen Ziffern. Seit einigen Jahren existiert ein Vorschlag, hexadezimale Zahlen allgemein mit neuen, unzweideutigen, sogenannten "omni-litteralen" (d.h. nur Buchstaben-) Ziffern darzustellen. Siehe dazu: Hexadezimalzeit.


Inhaltsverzeichnis

Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um eine hexadezimale Zahl von einer normalen Dezimalzahl unterscheiden zu können existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise wird die hexadezimale Zahl mit einem Präfix oder Suffix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind zum Beispiel: 7216, 72H, 0x72, "72, 72h und $72.

Dezimale Zahlen werden, wenn eine Unterscheidung notwendig ist, zum Beispiel 11410 oder 114D geschrieben.

Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F
........................ ........................
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF
100..................... ........................

Anwendung

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben: 

Hexadezimal     Dual
1F              1.1111
37C5            11.0111.1100.0101
AFFE0815        1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101

Computersoftware stellt daher Maschinensprache oft auf diese Weise dar.

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird.

Im Beispiel der 127810 sähe das so aus: 

1278 : 16 = 79 Rest 14 (= E)
  79 : 16 =  4 Rest 15 (= F)
   4 : 16 =  0 Rest  4

Von unten nach oben gelesen ergibt sich die Hexadezimalzahl 4FE..

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird. Dazu muss man allerdings noch die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für 4FE16:

<math>4 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 14 \cdot 16^0 = 1278_{(10)}</math>

Für das Zählen und Rechnen im Hexadezimalsystem gibt es eine Eselsbrücke: A = 10 und B = 11 kann sich jeder merken. C wie zwölf, D wie dreizehn, e für vierzehn kommt vor f wie fünfzehn.

Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

<math>h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot 16^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;9;A;B;\cdots ;F\}</math>

Siehe auch

Weblinks

Bild:Wiktionary-logo-en.png Wiktionary: Hexadezimalsystem – Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen
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