Gewöhnliche Differentialgleichung
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Eine gewöhnliche Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit ODE für engl. ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, die nur Ableitungen nach einer reellen Variablen enthält. Ihre Lösung ist somit eine Funktion, die von einer Variablen abhängt.
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Motivation
Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge zu beschreiben, bei denen die Veränderung einer Größe durch sie selbst bestimmt wird.
Die historisch ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und ungleichmäßig beschleunigten Bewegung, welche von Galileo Galilei noch mit geometrischen Methoden bearbeitet werden konnten. Als Isaac Newton jedoch auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, den Differentialkalkül und die heute geläufige Form einer Differentialgleichung einzuführen.
Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome:
- <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}N(t) = c\; N(t). </math>
Durch Berechnen der Funktion <math>N(t)\!</math> aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl der Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden.
Ein anderes einfaches Beispiel ist der ungedämpfte harmonische Oszillator mit der Differentialgleichung
- <math> m\;a = m\; \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x(t) = -k \; x(t). </math>
Die gesuchte Funktion ist hier die Funktion <math>x(t)\!</math>, deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.
Ordnung einer Differentialgleichung und Ordnungsreduktion
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben. Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln:
Sei
- <math>y^{(n)}(t)=f(t,\,y(t),\,y'(t),\,y(t),\dots,\,y^{(n-1)}(t))</math>
eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt:
- <math>u_k(t)=y^{(k)}(t) \quad k \in {0 \dots n-1}</math>
Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung:
- <math>u'_0(t)=u_1(t)\!</math>
- <math>u'_1(t)=u_0(t)=u_2(t)\!</math>
- <math>\dots</math>
- <math>u'_{n-1}=u_{n-2}= \dots = u^{(n)}_0=y^{(n)}=f(t,y,u_0,u_1,\dots\,u_{n-1}).</math>
Umgekehrt kann man auch aus manchen (aber nicht allen) Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.
Lineare Differentialgleichungen
Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Lineare Differentialgleichungen lassen sich oft mit Standardmethoden lösen.
Eine lineare Differentialgleichung ist linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Die allgemeine Form für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung für die Funktion y(t) ist
- <math>\sum_{i=0}^n c_i(t) y^{(i)}(t) = s(t)</math>.
Hierbei sind <math>c_i(t)\!</math> und <math>s(t)\!</math> bekannte Funktionen, <math>y(t)\!</math> wird gesucht, <math>y^{(i)}(t)\!</math> ist die i-te Ableitung von y nach t. Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten (von t unabhängigen) Koeffizienten <math>c_i(t)\!</math> und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene (mit <math>s = 0\!</math>) und inhomogene (mit <math>s \not= 0\!</math>) Problemstellungen.
Das Lösen von Differentialgleichungen
Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar, es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung hat im Allgemeinen n freie Parameter. Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung von n Unbekannten enthält im Allgemeinen eine frei wählbare (aber hinreichend oft differenzierbare) Funktion von n-1 Variablen, die selbst Funktionen der n Unbekannten sind (diese Funktionen sind aber natürlich nicht frei wählbar sondern werden durch die Lösung bestimmt).
Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben, und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt. Die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf beschrieben. Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden.
Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.
Lineare Differentialgleichungen
Für Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip: Eine Linearkombination mehrerer Lösungen ist wieder eine Lösung. n unabhängige Lösungen einer Differentialgleichung n-ter Ordnung bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung. Es gibt verschiedene (unendlich viele) Fundamentalsysteme für eine gegebene Gleichung, die Anzahl der Funktionen des Fundamentalsystems ist aber immer gleich.
Bei inhomogenen Differentialgleichungen löst man meist zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist dann
<math>y(t) = y_h(t) + y_p(t)\!</math>
wobei <math>y_h(t)\!</math> die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und <math>y_p(t)\!</math> eine beliebige Lösung der inhomogenen Gleichung ist: Addiert man zu einer Lösung der inhomogenen Gleichung eine Lösung der homogenen Gleichung dazu, ist das Ergebnis wieder eine Lösung der inhomogenen Gleichung.
Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Hier führt der Ansatz <math>y(t) = e^{\lambda \cdot t}</math> mit zunächst unbekanntem <math>\lambda</math> zum Ziel. Dadurch erhält man ein Polynom, dessen Grad gleich der Ordnung der Differentialgleichung ist:
- <math>\sum_{i=0}^n c_i \cdot \lambda^i = 0</math>
Dieses Polynom hat im Allgemeinen n komplexe Lösungen, daraus erhält man n Funktionen der Form <math>e^{\lambda_j \cdot t}</math>, die ein Fundamentalsystem bilden. Bei Mehrfachlösungen sind auch die zusätzlichen Funktionen <math>t^k \cdot e^{\lambda_j \cdot t}</math> mit natürlichen Zahlen k zwischen (ausschließlich) 0 und der Vielfachheit der Lösung des Polynoms Lösungen der Differentialgleichung. Sind alle Koeffizienten <math>c_i</math> reell, so erhält man ein rein reelles Fundamentalsystem, indem man bei den Funktionenpaaren mit nichtreellen, komplex-konjugierten <math>\lambda</math>-Werten <math>e^{\lambda_j \cdot t}</math> einmal durch <math>e^{\operatorname{Re}(\lambda_j) \cdot t} \cdot \cos(\operatorname{Im}(\lambda_j) \cdot t)</math> und einmal durch <math>e^{\operatorname{Re}(\lambda_j) \cdot t} \cdot \sin(\operatorname{Im}(\lambda_j) \cdot t)</math> ersetzt.
Spezielle Lösungsmethoden
Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen, die separierbar sind, durch direkte Integration lösen.
Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich durch Potenzreihen lösen.
Trennung der Veränderlichen
Hat man eine DGL in der Form <math> \dot y(x) = g( y(x) ) f( x ) </math> kann man sie lösen. Da man im Gegensatz zum allgemeineren Fall <math> \dot y(x) = h( y(x), x ) </math> die Funktion <math> h </math> in je zwei nur noch von einer Variablen abhängige Funktionen getrennt hat, spricht man von einer Trennung der Variablen.
Um sie zu Lösen teilt man durch <math> g(y) </math> und integriert beide Seiten über <math> x </math>:
<math> \int \frac{\dot y}{g(y)} \, dx = \int f(x) \, dx + konst </math>.
Auf der linken Seite hat man nun aber gerade die Ableitung von <math> \int \frac{1}{g(y)} \, dy </math> stehen:
<math> \frac{d}{dx} (\int \frac{1}{g(y)} \, dy) = \frac{d}{dy} (\int \frac{1}{g(y)} \, dy) * \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(y)} * \dot y = \frac{\dot y}{g(y)} </math>.
Es bleibt: <math> \int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx + konst </math>.
Man hat nun noch die beiden Integrale zu lösen und bei Möglichkeit danach die Gleichung nach y aufzulösen. Die Integrationskonstante kann man mit einer Anfangsbedingung beseitigen.
Beispiel
gesucht ist y mit <math> \dot y(t) = 2t y(t) - t </math> und y(0) = 5,5
- Trennen der Veränderlichen
<math> \dot y(t) = 2t y(t) - t = t (2y(t) - 1) \Rightarrow \frac{\dot y(t)}{2y(t) - 1} = t </math>
- Integrieren
<math> \int \frac{1}{2y - 1} dy = \int t dt </math>
<math> \Rightarrow \frac{1}{2} \ln(2y-1) + c_1 = \frac{1}{2} t^2 + c_2 </math>
- Auflösen nach y: (mit jeweils neuen konstanten)
<math> \ln(2y-1) = t^2 + c_3 </math>
<math> 2y-1 = e^{t^2 + c_3} = e^{t^2} \cdot c_4 </math> mit <math> c_4 > 0 </math>
<math> y = \frac{1}{2} \cdot (e^{t^2} \cdot c_4 + 1) = e^{t^2} \cdot c_5 + \frac{1}{2} </math> mit <math> c_5 > 0 </math>
- Anfangsbedingung:
<math> 5,5 = e^{0} \cdot c_5 + \frac{1}{2} \Rightarrow c_5 = 5 </math>
- Lösung:
<math> y = e^{t^2} \cdot 5 + \frac{1}{2} </math>
Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen
Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück.
Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGL Systeme zu einfacheren normalen Gleichungssystemen.
Spezielle Differentialgleichungen
- d'Alembert-Differentialgleichung
- Bernoulli-Gleichung
- Clairaut-Gleichung
- Exponentialfunktion <math>y'=\alpha y \Rightarrow y=ce^{\alpha x}</math>
- Eulersche Differentialgleichung
- Riccati-Gleichung
Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen
Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung immer auf Systeme erster Ordnung reduzieren lassen, geht man bei der Konstruktion von numerischen Lösungsverfahren im Normalfall von einem System erster Ordnung aus:
<math>\dot{x}(t)=f(t,x(t)), \; x:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{n}, f:\mathbb{R}^{n+1} \mapsto \mathbb{R}^{n}</math>
Es gibt zwei wichtige Klassen von numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, die Einschrittverfahren (insbesondere die Runge-Kutta-Verfahren) und die linearen Mehrschrittverfahren. Eine Verallgemeinerung von beiden Klassen stellen die allgemeinen linearen Verfahren (General linear Methods (GLM)) dar.
Siehe auch
Literatur
- M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
- B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
- Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422
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