Galoistheorie

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Galoistheorie ist der Bereich der Algebra, der die Symmetrie der Nullstellen (auch Wurzeln) von Polynomen untersucht. Diese Symmetrien werden normalerweise durch symmetrische Gruppen dargestellt, welche in der Tat von Evariste Galois erfunden wurden, um damit die Symmetrie der Wurzeln zu beschreiben.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa »Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?«, »Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden.« (wieder nur mit Zirkel und Lineal) und »Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höherem Grad, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?« (Der Satz von Abel-Ruffini).

Inhaltsverzeichnis

1 Klassischer Ansatz
- 1.1 Beispiel
2 Moderner Ansatz
- 2.1 Hauptsatz der Galoistheorie
3 Verallgemeinerungen
4 Das Umkehrproblem der Galoistheorie
5 Literatur
6 Siehe auch
7 Weblinks

Klassischer Ansatz

Eine »Symmetrie der Nullstellen von Polynomen« ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Galoisgruppen.

Beispiel

Die Galoisgruppe des Polynoms (x²-5)²-24 soll »über dem Körper der rationalen Zahlen« beschrieben werden. (Erlaubt sind also nur rationale Zahlen in den Koeffizenten der invarianten algebraischen Gleichungen). Die Wurzeln der Polynome sind

<math>a = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>,

<math>b = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math>,

<math>c = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>,

<math>d = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

Es gibt 24 Möglichkeiten, diese vier Zahlen zu permutieren, aber nicht alle dieser Permutationen sind Elemente der Galoisgruppe. Alle Gleichungen, die die Variablen a,b,c und d enthalten, müssen durch die Galoisgruppe invariant bleiben. Eine solche Gleichung ist a+d=0. Deshalb ist die Permutation, die a und b gleich lässt und c und d vertauscht, nicht erlaubt: diese bildet a auf a ab, und d auf c, aber a+c ist nicht 0.

Weniger offensichtlich ist die Tatsache, dass (a+b)²=8. Deshalb können wir (a,b) auf (c,d) abbilden, da wir auch (c+d)²=8 haben. Aber wir können nicht (a,b) auf (a,c) abbilden, da (a+c)²=12. Andererseits können wir (a,b) auf (c,d) abbilden, obwohl a+b=2√2 und c+d=-2√2, da die Gleichung a+b=2√2 eine irrationale Zahl enthält (√2) und wir für solche Gleichungen nicht verlangt haben, dass die Galoisgruppe diese invariant lässt.

All dies eliminiert bestimmte Permutationen, so daß die Galoisgruppe letztendlich nur die folgenden vier Permutationen enthält und isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)

(a, b, c, d) → (c, d, a, b)

(a, b, c, d) → (b, a, d, c)

(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

Moderner Ansatz

Beim modernen Ansatz wurde der Formalismus ein wenig geändert um eine präzise und allgemeinere Definition zu erhalten: Man beginnt mit einer Körpererweiterung L/K und definiert die Galoisgruppe als die Gruppe aller Körperautomorphismen von L, welche die Elemente von K fest halten. Im Beispiel oben, berechnen wir die Galoisgruppe der Körpererweiterung Q(a,b,c,d)/Q.

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist, oder nicht. Jede Körpererweiterung L/K gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von Ordnung n ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung und die Elemente von L können als die n-ten Wurzeln eines Elements aus K aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise Q) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes n>4 ein Polynom mit Grad n existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für n>4 die Symmetrische Gruppe S_n einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält.

Hauptsatz der Galoistheorie

Wenn L eine Galoiserweiterung des Körpers K ist, und G(L/K) die zugehörige Galoisgruppe, dann ist L galoissch über jedem Zwischenkörper Z und es existiert eine Bijektion

<math> \{\mbox{Zwischenk}\mathrm{\ddot o}\mbox{rper}\} \rightarrow \{\mbox{Untergruppen von }G(L/K)\} </math>

<math>Z \mapsto G(L/Z)</math>

Normale Körpererweiterungen <math>M/K</math> entsprechen unter dieser Bijektion Normalteilern von <math>G(L/K)</math>. Außerdem gilt:

<math> [Z:K] = \frac {|G|}{|G(L/Z)|}</math>
<math>Z \subset Z' \Rightarrow G(L/Z') \subset G(L/Z)</math>

Verallgemeinerungen

Im Fall einer unendlichen algebraischen separablen und normalen Erweiterung <math>L|K</math> kann man die Galoisgruppe <math>Gal(L|K)</math> mit der so genannten Krulltopologie (nach W. Krull) versehen. Es gibt dann eine natürliche Bijektion zwischen Teilerweiterungen <math>K\subseteq Z\subseteq L</math> und abgeschlossenen Untergruppen von <math>G(L|K)</math>.

Ist <math>L|K</math> eine nicht notwendigerweise algebraische unendliche Erweiterung, so gibt es keine derartige allgemeine Theorie mehr: Ist beispielsweise <math>L</math> ein vollkommener Körper der Charakteristik <math>p>0</math>, so ist durch

<math>F_p\colon L\to L,\quad x\mapsto x^p</math>

ein Körperautomorphismus definiert, der so genannte Frobeniusautomorphismus. Die von <math>F_p</math> erzeugte Untergruppe <math>H</math> von <math>L|\mathbb F_p</math> ist im Allgemeinen »viel« kleiner als die Gruppe der Automorphismen von <math>L</math>, aber es gilt <math>L^H=\mathbb F_p</math>. Ist <math>L</math> ein algebraischer Abschluss von <math>\mathbb{F}_p</math>, so liegt allerdings die vom Frobeniusautomorphismus erzeugte Untergruppe dicht in <math>Gal(\bar{\mathbb{F}_p}|\mathbb{F}_p)</math>, d.h. ihr Abschluss ist gleich der Galoisgruppe.

Ist jedoch <math>L|K</math> eine Körpererweiterung mit <math>L^{Gal(L|K)}=K</math> (das impliziert nicht, dass L|K algebraisch und damit insbesondere nicht galoissch ist), so gilt trotzdem noch: <math>H\mapsto L^H</math> und <math>M\mapsto Gal(L|M)</math> sind zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen der Menge der kompakten Untergruppen von <math>Gal(L|K)</math> und der Menge der Zwischenkörper <math>K\subseteq M\subseteq L</math>, bei denen L galoissch über M ist.

Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Galoistheorie für Ringerweiterungen statt Körpererweiterungen.

Das Umkehrproblem der Galoistheorie

Es ist einfach, Körpererweiterungen mit einer beliebigen vorgegebenen endlichen Gruppe als Galoisgruppe zu konstruieren. Alle endlichen Gruppen treten daher als Galoisgruppe auf.

Dazu wählt man einen Körper <math>K</math> und eine endliche Gruppe <math>G</math>. Nach dem Satz von Cayley ist <math>G</math> isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf den Elementen von <math>G</math>. Wählt man Variablen <math>\{X_a\}_{a \in G}</math> für jedes Element <math>a</math> von <math>G</math> und adjungiert sie zu <math>K</math>, so erhält man <math>F = K(\{X_a\})</math>. In <math>F</math> enthalten ist der Körper <math>L</math> der symmetrischen rationalen Funktionen in den <math>\{X_a\}</math>. Dann ist <math>G(F/L) = S_{|G|}</math>, und der Fixkörper <math>M = F^G</math> von <math>F</math> unter <math>G</math> hat Galoisgruppe <math>G = G(F/M)</math> nach dem Hauptsatz der Galoistheorie.

Allerdings ist es ein im Allgemeinen ungelöstes Problem, solch eine Konstruktion für einen festen Grundkörper, etwa Q, auszuführen.

Literatur

Emil Artin Die Galoissche Theorie, 2003, Harri Deutsch, ISBN 3817117140. (die amerikanische Erstauflage erschien 1948) [Auflage erscheint nicht, laut Verlag]
Die englische Ausgabe ist noch erhältlich:
Emil Artin Galois Theory, 1998, Dover Publications, ISBN 0-486-62342-4.
Eine bahnbrechende, recht moderne Darstellung. Sehr kurz, aber prägnant. Die historische Entwicklung wird allerdings nicht aufgezeigt.
Jörg Bewersdorff Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 2004, Vieweg, ISBN 3-528-13192-6.
Die wohl einfachste Darstellung der Galoistheorie, die sich an der historischen Entwicklung orientiert und die moderne Darstellung erst im letzten Kapitel beschreibt. Enthält viele Beispiele.
Jean-Pierre Tignol Galois' Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-4541-6.
Orientiert sich ebenfalls an der historischen Entwicklung, legt aber Wert auf eine moderne Herangehensweise und stellt sich somit thematisch zwischen die Bücher von Bewersdorff und Artin. Beschäftigt sich sehr ausgiebig mit den Entwicklungen, die der Entstehung der Galoistheorie vorangingen.
Siegfried Bosch Algebra, 2001, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4.
Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, Springer-Verlag, ISBN 3-540-62890-8.