Frequenzgang

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In einfachen Worten

Das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems (z.B. eines Filters in der Analogtechnik) kann mit Hilfe des Frequenzgangs beschrieben werden. Dabei wird die Amplitude und die Phasenlage am Ausgang des Systems (im Vergleich zu den Größen am Eingang) über der Frequenz aufgezeichnet. Werden diese Größen als Graph dargestellt, werden die entstehenden Darstellungen auch als Amplitudengang bzw. Phasengang bezeichnet (Bode-Diagramm). Werden beide Informationen zu einer komplexen Funktion zusammengefasst, spricht man auch vom komplexen Frequenzgang.

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Der Frequenzgang (in der Schwingungstechnik häufig als Übertragungsfunktion bezeichnet) ist wohl die am häufigsten verwendete Funktion in der Signalanalyse. Er dient zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Systemen, wobei in der Regel – bei Mehrfreiheitsgradsystemen – eine Frequenzgangmatrix notwendig ist, deren Elemente durch sämtliche mögliche Einzel-Frequenzgänge zwischen jeweils zwei Messpunkten bzw. Messrichtungen gebildet werden. In der Regel wird zur Systemidentifikation (Modalanalyse) als Eingangsgröße x(t) eine Kraft gewählt; als Ausgangsgrößen werden meist die aus der Krafterregung resultierenden Auslenkungen, Schwingschnellen oder Beschleunigungen herangezogen. Ist das dynamische Verhalten einer Struktur bekannt, so kann z.B. die Schwingungsantwort an jeder Messstelle aufgrund einer beliebig vorgegebenen Anregung an einer anderen Messstelle mit Hilfe des zugehörigen Frequenzganges bestimmt werden.

Die anschaulichste Beziehung zur Berechnung von Frequenzgängen lautet:

<math>

H_0 (f) = \frac{Y (f)}{X (f)} </math>, (1)

wobei X(f) und Y(f) die Fouriertransformierten des Eingangs- und des Ausgangssignals x(t) bzw. y(t) repräsentieren (s. Signalanalyse). Sie liefert jedoch nur unter idealen Bedingungen (s. unten) den exakten Frequenzgang H(f). In der Praxis sind Eingangs- und/oder Ausgangssignal mehr oder weniger verrauscht, so dass in der Signalanalysetechnik meist zwei andere Berechnungsverfahren eingesetzt werden, bei denen die Tatsache ausgenutzt wird, dass sich bei der Berechnung von Kreuzleistungsspektren nicht korrelierte Signalanteile herausmitteln. Die Beziehung

<math>

H_1 (f) = \frac{S_{XY} (f)}{S_{XX} (f)} </math>, (2)

in der S_XY das Kreuzleistungsspektrum und S_XX das Autoleistungsspektrum des Eingangssignals repräsentieren, resultiert aus der Erweiterung des Quotienten in Gl. (1) mit der konjugiert Komplexen X*(f) der Fouruiertransformierten des Eingangssignals. Sie ist besonders geeignet, wenn die Eingangsgröße störungsfrei ermittelt werden kann. Durch Erweiterung mit der entsprechenden konjugiert Komplexen Y*(f) des Ausgangsspektrums erhält man

<math>

H_2 (f) = \frac{S_{YY} (f)}{S_{YX} (f)} </math> (3)

(mit S_YX(f) = S*_XY(f)). Diese Berechnungsmethode ist immer dann angezeigt, wenn das Ausgangssignal y(t) störungsfrei vorliegt. Sind die beiden Signale x(t) und y(t) vollständig kohärent, so gilt:

<math>

H_0(f) = H_1(f) = H_2(f) </math>. (4)

Aus dem Quotienten H₁(f)/H₂(f) kann, wie aus Gl. (2) und (3) abzuleiten ist, die Kohärenz γ²_YX(f) errechnet werden:

<math>

\frac{H_1(f)}{H_2(f)} = \gamma^2_{XY}(f) </math>. (5)

Die Fourier-Rücktransformierte des Frequenzganges ist die Gewichtsfunktion h(t), oft auch als Impulsantwort(funktion) bezeichnet:

<math>

h(t) = \int_{-\infty}^\infty H(f) e^{\mathrm{j} 2 \pi f t} \,df </math>. (6)