Exponentieller Vorgang

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Einen Vorgang bezeichnet man als exponentiell, wenn die wesentliche beteiligte Größe sich mit Hilfe der Exponentialfunktion als exponentielles Wachstum

<math>N = N_0 e^{\lambda t}</math>

oder als exponentielle Abnahme

<math>N = N_0 e^{- \lambda t}</math>

beschreiben lässt. Dies ist der Fall, wenn die Zunahme beziehungsweise Abnahme prozentual konstant, das heißt proportional zur Größe des Bestandes ist.

Funktionswerte, die im Abstand fester Zeitschritte Δt aufeinander folgen, bilden eine geometrische Folge mit dem Faktor <math>q = e^{\lambda \Delta t}</math>. Geometrische Folgen stellen eine Möglichkeit dar, exponentielle Vorgänge in elementarer Weise zu beschreiben.

Die Größe λ heißt die Wachstumsrate beziehungsweise Zerfallsrate des Vorgangs. λ wird hier als > 0 angenommen und bestimmt die Geschwindigkeit der Zu- beziehungsweise der Abnahme.

Die Verdoppelungsrate beziehungsweise Halbwertszeit T hängt mit der Größe λ folgendermaßen zusammen:

<math> \lambda\cdot T = \ln (2) </math>

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus.

Hinweis: Manchmal wird die Formel <math>N = N_0 e^{\lambda t}</math> sowohl für Wachtums- wie auch für Zerfallsprozesse benutzt. Dann entfällt die Beschränkung von λ auf positive Zahlen; negative Werte von λ beschreiben einen Zerfall. Auch ein Nullwachstums ist für λ = 0 enthalten.

Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein oft beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dass die obige Formel die einfachste gewöhnliche Differentialgeichung

<math> y'(t) = \lambda y(t) </math>

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist.

Bei vielen Prozessen setzt sich das exponentielle Wachstum nicht unendlich fort, sondern verlangsamt sich, bis eine Sättigung eingetreten ist. Man spricht dann von logistischem Wachstum.

Beispiele

Beispiele zur exponentiellen Abnahme wie etwa der radioaktive Zerfall siehe unter Halbwertszeit.
Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
In der Gesellschaft wachsen Kapital oder Schulden bei einem festen Zins mit Zinseszins exponentiell.
Die Gesamtmenge an (Fach-)Literatur wächst exponentiell - Die Verdoppelungsrate beträgt etwa 20 Jahre, das entspricht einer Zunahme von etwa 3,5% pro Jahr.
Auch die Menge der Artikel in Wikipedia wächst exponentiell.
Moore's Law
Bierschaum zerfällt exponentiell. Es ist ein beliebtes Experiment in Schulen um die Zerfallsrate an einem Beispiel aus dem Alltag darzustellen.