Entropie (Informationstheorie)
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Entropie ist ein Maß für die Menge an Zufallsinformation, die in einem System oder einer Informationsfolge steckt. Der Begriff in der Informationstheorie ist in Analogie zur Entropie in der Thermodynamik und Statistischen Mechanik benannt. Beide Begriffe haben Gemeinsamkeiten, deren Erkennen allerdings Kenntnisse in beiden Fachgebieten voraussetzt.
Das informationstheoretische Verständnis des Begriffes Entropie geht auf Claude E. Shannon zurück und existiert seit etwa 1948. In diesem Jahr veröffentlichte Shannon seine fundamentale Arbeit A Mathematical Theory of Communication und prägte damit die moderne Informationstheorie.
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Definition
Shannon definierte die Entropie H einer gegebenen Information I über einem Alphabet Z durch
- <math>H(I) = - \sum_{j=1}^{|Z|}{p_j \cdot \log_2{p_j}}</math>,
wobei pj die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das j-te Symbol zj des Alphabet Z im Informationtext I auftritt. Die Entropie erhält die Pseudoeinheit bit. H multipliziert mit der Anzahl der Zeichen im Informationstext ergibt dann die mindestens notwendige Anzahl von Bits, die zur Darstellung der Information notwendig sind.
Prinzipiell lässt sich die Berechnung der Entropie auch auf andere Zahlensysteme (etwa Oktalsystem, Hexadezimalsystem) als das Binärssystem (Basis 2) übertragen. In diesem Fall wird der Logarithmus nicht zur Basis 2, sondern zur entsprechenden informationstheoretischen Basis des Zahlensystems gebildet.
Die Verallgemeinerung der Entropie für eine multivariante Zufallsvariable wird Blockentropie beziehungsweise Verbundentropie genannt.
Interpretation
Entropie ist grob gesagt ein Maß für die Menge an Zufallsinformation, die in einem System oder einer Informationsfolge steckt. Dabei ist die Einheit der Zufallsinformation (1 bit) definiert als die Informationsmenge, die in einer Zufallsentscheidung eines idealen Münzwurfes enthalten ist. Ein idealer Münzwurf hat nur 2 Möglichkeiten Wappen oder Zahl , die beide mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p = 0,5 auftreten.
Shannons ursprüngliche Absicht, die Entropie als das Maß der benötigten Bandbreite eines Übertragungskanals zu nutzen, wurde schnell verallgemeinert. Die Entropie wurde generell als ein Maß für den Informationsgehalt betrachtet. Wenn die Entropie etwa einen Wert von 1 hat, dann gilt die Information als zufällig. Bei einer kleinen Entropie enthält der Informationstext Redundanzen oder statistische Regelmäßigkeiten. Die Zahl <math>H(I)</math> gibt intuitiv die durchschnittliche Information an, die in einem Symbol der Quelle enthalten ist.
Die rein statistische Berechnung der informationstheoretischen Entropie nach obiger Formel ist gleichzeitig ihre Beschränkung. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, eine 0 oder 1 in einer geordneten Zeichenkette "1010101010..." zu finden, genauso groß, wie in einer Zeichenkette, die durch statistisch unabhängige Ereignisse (etwa wiederholten Münzwurf) entstanden ist. Daher ist Shannons Entropie für beide Zeichenketten identisch, obwohl man intuitiv die erste Kette als weniger zufällig bezeichnen würde. Eine angemessenere Definition der Entropie einer Zeichenkette liefert die bedingte Entropie und Quellentropie, die beide auf Verbundwahrscheinlichkeiten aufbauen.
In engem Zusammenhang zur bedingten Entropie steht auch die Transinformation, die die Stärke des statistischen Zusammenhangs zweier Zufallsgrößen angibt.
Beispiel: Münzwurf
Bei einem Münzwurf sind idealerweise „Kopf“ oder „Zahl“ gleichwahrscheinlich. Indem man die Entropie als Maß für die Ungewissheit auffasst, wird sie hier daher einen maximalen Wert aufweisen. Es ist völlig ungewiss, ob beim nächsten Wurf „Kopf“ oder aber „Zahl“ geworfen wird. Die Entropie wird hier als 1 bit definiert.
Anders bei einer gezinkten Münze, etwa einer Münze, die im Mittel in 60 % der Fälle „Kopf“ und nur in 40 % der Fällen „Zahl“ anzeigt. Die Ungewissheit ist hier geringer als bei der normalen Münze, da man eine gewisse Präferenz für „Kopf“ hat. Gemessen als Entropie liegt die Ungewissheit bei nur noch etwa 0,971 .
Wiederholt man den Münzwurf 2 mal wächst die Zahl der Möglichkeiten auf 4. Die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Möglichkeit liegt bei 0,25. Die Entropie des zweimaligen Münzwurfes ist dann 2 bit. Wenn man einen idealen Münzwurf mehrfach wiederholt, dann addiert sich die Entropie einfach. Die Entropie eine Reihe von 20 idealen Münzwürfen berechnet sich einfach: H = 20 * 1 bit = 20 bit . Dies wird im folgenden Bild dargestellt.
Sei nun eine Folge von Münzwürfen als Bitfolge zu speichern. Während es sich bei der normalen Münze anbietet, „Kopf“ stets durch 0 und „Zahl“ stets durch 1 zu repräsentieren (oder umgekehrt), so sind bei der gezinkten Münze kompaktere Kodierungen möglich. Diese erhält man beispielsweise durch den Huffman-Kode. Im Mittel benötigt man hier pro Münzwurf nur etwa 0,971 Bit. Dies ist genau der Wert der Entropie.
Beispiel: Idealer 6er Würfel
Bei einem Wurf eines idealen Würfels mit 6 Möglichkeiten ist die Entropie größer als 1. Allgemein ist sie größer als eins für ein Zufallsereignis aus einem Zufallsexperiment mit mehr als 2 gleichberechtigten Möglichkeiten im Ergebnisraum. Ihr Wert wird bei gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten im Ergebnisraum folgendermaßen berechnet:
H = log2(Zahl der gleichberechtigten Elemente im Ergebnisraum ).
Beim idealen Würfel sind 6 Möglichkeiten im Ergebnisraum. Daraus folgt die Entropie für einmal werfen:
H = log2 6 = log2 2*3 = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3 <math>\approx</math> 1 + 1.585 = 2.585 bit
Einfach zu berechnen ist die Entropie eines Wurfes eines idealen Achterwürfels: Er hat 8 gleichberechtigte Möglichkeiten.
H = log2 8 = 3 bit
Die folgende Abbildung stellt den Zusammenhang zwischen der Entropie und der Zahl der gleichberechtigten Möglichkeiten eines Zufalleexperimentes dar.
Maximaler Entropiewert und Normierung
Möchte man ein normiertes Maß für die Entropie einer beliebigen diskreten Verteilung haben, ist es von Vorteil, die maximal mögliche Entropie, die bei Gleichverteilung der pj erreicht wird, zur Normierung heranzuziehen. Sei z = |Z| die Anzahl der erlaubten Symbole in I über dem Alphabet Z, dann ist die maximale Entropie Hmax gegeben durch:
- <math>H_{\mathrm{max}}(I) = - \sum_i{\frac{1}{z} \log_2{\frac{1}{z}}} = \log_2{z} \mbox{ , falls }\forall\;p_j=\frac{1}{|Z|}</math>
Daraus folgt beispielsweise Hmax=1 für eine Binärverteilung (Z={0,1}), also benötigt man 1 Bit pro Zeichen und |I| Zeichen für die komplette Information I. Dieser Wert wird erreicht, wenn 0en und 1en gleich häufig vorkommen. Normiert man nun die Entropie einer beliebigen Verteilung mit z verschiedenen Symbolen mit Hmax erhält man:
<math>H(I)/H_{\mathrm{max}} = - \sum_{j=1}^b{p_j \cdot \frac{\log_2{p_j}}{\log_2{b}}} = - \sum{p_j \cdot log_b{p_j}} \leq 1</math>
Die so erhaltene Entropie wird immer maximal gleich 1.
Um die Entropien von Nachrichten unterschiedlicher Länge vergleichen zu können, hat man die Entropierate eingeführt, die die Entropie auf das einzelne Zeichen bezieht (s. dort).
Entropietests
Um zu testen wie gut Daten komprimierbar sind oder um Zufallszahlen zu testen werden Entropietests verwendet. Als Zufallszahltest wird die Entropie einer bestimmen Anzahl von Zufallszahlen bestimmt und ab einem Mindestwert, beispielsweise 7 Bit je Byte, gilt er als bestanden. Allerdings gibt es viele solcher Tests, da die Entropie nicht eindeutig ist; sie kann beispielsweise bitbasiert oder bytebasiert sein.
Einfaches Beispiel: Eine Quelle, z. B. ein Spielwürfel oder eine Münze, gibt nur 0xaa (dezimal 170) und 0x55 (dezimal 85) aus und beide mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Bitweise ist der output zu 50 % 0 oder 1, byteweise ist er zu 50 % 0xaa oder 0xff. Die bitweise Entropie ist (mit log = ln): H = 1/log(2) *(1/2 *log(1/2) +1/2 *log(1/2)) = 1 während die byteweise Entropie mit H = 1/log(8) *(1/2 *log(1/2) +1/2 *log(1/2)) = 1/3 deutlich kleiner ist.
Der Hersteller dieses Zufallszahlengenerator wird natürlich als Entropie des Geräts die bitweise Entropie, also 1 angeben. Analog wird ein Programmierer eines Kompressionsprogramms möglichst diejenige Basis wählen, bei der die Entropie minimal ist (hier Bytes), sich also die Daten am besten komprimieren lassen.
Dieses Beispiel ist wenig realistisch, da nur zwei von 256 möglichen Bytes verwendet werden, aber wenn auch die anderen Bytes mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit von z. B. 1/123456789-tel ausgegeben, so ändert dies an der bitweisen Entropie nichts und die byteweise wird kaum größer; sie bleibt unter 1/2. Erst mit Annäherung der Byte-Wahrscheinlichkeiten an 1/256-tel erreicht die byteweise Entropie den Wert 1, aber dann kann es noch Korrelationen der Bytes geben, also z. B. die Folge 0xaaaa viel häufiger sein als die Folge 0x5555. Dies ist der Hauptgrund, weshalb es viele verschiedene Zufallszahlentests gibt.
Diese Mehrdeutigkeit ist nicht möglich beim Entropiebelag, da dort nicht nur über Wahrscheinlichkeiten summiert wird, sondern über ergodische Wahrscheinlichkeiten von Zuständen, Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten. Berechnet wird er mit der Theorie der Markov-Kette. Allerdings ist der Rechenaufwand dafür bei realen Zufallszahlengeneratoren sehr hoch.
Datenkompression und Entropie
Die Entropiekodierung ist ein Kompressionsalgorithmus, um Daten verlustfrei zu komprimieren.
In diesem Zusammenhang spielen die Kreuzentropie sowie die Kullback-Leibler-Divergenz als Maße für die durch eine schlechte Kodierung ausgelösten Verschwendungen von Bits eine Rolle.
Beispiel: Entropiekodierung
- Gegeben sei die Zeichenkette ABBCAADA (siehe auch Entropiekodierung).
- Die Buchstaben-Wahrscheinlichkeit: <math>p_a= 4/8= 0.5</math>; <math>p_b= 0.25</math>; <math>p_c=p_d= 0.125</math>
- <math>\mbox{Entropie}=-(0.5*\log_2{0.5} + 0.25*\log_2{0.25} + 2*(0.125*\log_2{0.125}))= 1.75 \, \mbox{Bit}/\mbox{Zeichen}</math>
- Maximalentropie (<math>p_a = p_b = p_c = p_d = 0.25</math>):
<math>\mbox{Entropie}_{\mbox{max}}= -4*(0.25*log_2{0.25})= -log_2{4^{-1}}= log_2{4} = 2\, \mbox{Bit}/\mbox{Zeichen}</math>
Alternative Möglichkeiten der Informationsquantifizierung
Ein anderer Zugang, den Informationsgehalt einer Nachricht zu messen, ist durch die Kolmogorow-Komplexität gegeben, worin der kürzestmögliche Algorithmus zur Darstellung einer gegebenen Zeichenkette die Komplexität der Nachricht angibt. Ähnlich ist die Logische Tiefe definiert, die sich aber auf die Laufzeit bzw. Zeitkomplexität eines Algorithmus zur Erzeugung der Daten bezieht. Gregory Chaitin ist ebenfalls über die Shannonsche Definition der Entropie einer Information hinausgegangen (siehe Algorithmische Informationstheorie).
Literatur
- Johanneson, Rolf: Informationstheorie, Addison-Wesley 1992, ISBN 3893194657
- Claude Shannon und Warren Weaver: The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press 1963, ISBN 0252725484 (Softcover) und ISBN 0252725468 (Hardcover)
- Norbert Bischof: Struktur und Bedeutung, 1998, ISBN 3456830807 (Das Buch ist für Sozialwissenschaftler geschrieben und erklärt mathematische Zusammenhänge Nicht-Mathematikern in sehr verständlicher Weise. Das Kapitel 2 widmet sich der Informationstheorie.)
Siehe auch
- Kolmogorov-Entropie, Kolmogorov-Sinai-Entropie, Maximum-Entropie-Methode, Metrische Entropie, Nat, Ornstein Theorem, Redundanz, Topologische Entropie, Markow-Kette, Renyi-Entropie, Negentropie, Entropiekodierung
Weblinks
- http://www.madeasy.de/2/zufallgz.htm
- Einführung der Entropie als Gesamtzufallsmenge mit vielen Beispielen und hilfreichen Erklärungen zur Formel von Shannon.
