Dezimalsystem

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Das Dezimalsystem oder Zehnersystem (lat. decimus = der Zehnte) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Grundzahl (oder Basis) 10. Das Dezimalsystem ist heute das weltweit verbreiteteste Zahlensystem.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung von Zahlen
2 Geschichte
3 Umrechnung in andere Stellenwertsysteme
4 Siehe auch
5 Weblinks

Darstellung von Zahlen

Ziffern

Im Dezimalsystem verwendet die 10 Ziffern

0 (Null), 1 (Eins), 2 (Zwei), 3 (Drei), 4 (Vier), 5 (Fünf), 6 (Sechs), 7 (Sieben), 8 (Acht), 9 (Neun).

Diese Ziffern werden jedoch in verschiedenen Teilen der Welt anders geschrieben. Siehe dazu die Artikel Arabische Zahlen und Indische Zahlen.

Ganze und rationale Zahlen

Die Darstellung ganzer und rationaler Zahlen wird im Artikel Stellenwertsystem allgemein erläutert. Je nach Stellung muss der Wert einer Ziffer mit einer Zehnerpotenz multipliziert werden. Beispiel:

723,48 = 7·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ + 4·10^-1 + 8·10^-2

Ziffern vor dem Komma werden mit positivem, Ziffern nach dem Komma mit negativem Exponenten multipliziert. Im englischen Sprachraum wird statt des Kommas meist ein Punkt verwendet.

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen. Die Dezimalbruch-Entwicklung ist periodisch bei denjenigen Zahlen, deren Nenner andere Primfaktoren enthalten außer 2 und 5, den Primfaktoren der Ziffernbasis 10.

Zum Beispiel haben die ersten Stammbrüche folgende Dezimaldarstellung:

<math>\begin{matrix}

{1 \over 2} & = & 0,5 \\ {1 \over 3} & = & 0{,}\bar{3} \\ {1 \over 4} & = & 0,25 \\ {1 \over 5} & = & 0,2 \\ {1 \over 6} & = & 0{,}1\bar{6} \\ {1 \over 7} & = & 0{,}\overline{142857} \\ {1 \over 8} & = & 0,125 \\ {1 \over 9} & = & 0{,}\bar{1} \\ {1 \over 10} & = & 0,1 \end{matrix}</math>

Irrationale Zahlen

Wie im Artikel Stellenwertsystem erläutert, besitzen irrationale Zahlen (auch) im Dezimalsystem eine unendliche nichtperiodische Nachkommaziffern-Folge. Es ist also nur mithilfe zusätzlicher Symbole möglich, irrationale Zahlen durch endliche Darstellungen anzugeben.

Beispiele solcher Symbole sind Wurzelzeichen, wie für √2, Buchstaben wie π oder e, sowie mathematische Ausdrücke wie unendliche Reihen oder Grenzwerte

Jedoch ist auch so nicht jede reelle Zahl darstellbar, weil es überabzählbar viele reelle Zahlen, aber nur abzählbar viele endliche Darstellungen mit einem endlichen Zeichenvorrat gibt.

Geschichte

Ohne Null aber bereits mit der Dezimalzahlen-Idee (also Zehner, Hunderter, Tausender usw. rechnete man bereits im Alten Ägypten (siehe Hieroglyphen) und später bei den Römern (siehe Römische Zahlen). Die Chinesischen Zahlen sind ein Mischsystem aus den Ziffern eins bis neun (eine Null wurde später hinzugefügt) und Zeichen für die Zehnerschritte.

Das Dezimalsystem ist das weltweit verbreiteteste Zahlensystem, und stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es im 8. Jahrhundert in seinem Arithmetikbuch, durch das es im 10. Jahrhundert nach Europa gelangte. Mit seiner Durchsetzung im 12. Jahrhundert kam auch der Begriff Arabische Zahlen auf. In arabischen Ländern werden sie bis heute indische Zahlen genannt.

Die alten indischen Ziffern werden auch heute noch in der Devanāgarī-Schrift verwendet.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
०	१	२	३	४	५	६	७	८	९

Umrechnung in andere Stellenwertsysteme

Methoden zur Umrechnung von und in das Dezimalsystem werden in den Artikeln zu anderen Stellenwertsystemen und unter Zahlbasiswechsel und Stellenwertsystem beschrieben.