Biquadratische Gleichung
aus Freepedia, der freien Wissensdatenbank
Inhaltsverzeichnis |
Definition
Eine biquadratische Gleichung oder polynomiale Gleichung 4. Grades (auch quartische Gleichung genannt) hat die Form
- <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0</math>
mit <math>a\ne 0</math>.
Spezialformen
- Im (oben ausgeschlossenen) Entartungsfall <math>a=0</math> liegt höchstens noch eine kubische Gleichung vor.
- Ist <math>b=0</math> und <math>d=0</math>, dann lässt sich die Gleichung durch die Substitution <math>y=x^2</math> auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Diese Spezialform wird manchmal in Lehrbüchern als biquadratische Gleichung bezeichnet, um sie gegen den allgemeinen Fall der quartischen Gleichung abzugrenzen.
Geschichte
Die geschlossene Lösung der biquadratischen Gleichung fand der italienische Mathematiker Lodovico Ferrari (1522-1565). Diese Lösung veröffentlichte sein Lehrer Gerolamo Cardano 1545 in dem Werk Ars magna de Regulis Algebraicis.
Satz
Voraussetzung: Gegeben sei eine quartische Gleichung <math>Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0</math> mit <math>A, B, C, D, E, x\in\mathbb{C}</math>.
Aussage: Dann kann man ihre Lösungen wie folgt angeben:
- Algorithmus 0: Nur für <math>B=0</math> und <math>D=0</math>:
- Substituieren: <math>x^2</math> durch <math>z</math>: <math>Az^2 + Cz + E = 0\qquad\qquad (99)</math>,
- Finden: Die Lösungen zu Gleichung (99) <math>z_1</math> und <math>z_2</math> finden: siehe Quadratische Gleichung,
- Rück-subsitituieren: <math>x=\pm\sqrt{z}</math>: <math>x_1=+\sqrt{z_1}</math>, <math>x_2=-\sqrt{z_1}</math>, <math>x_3=+\sqrt{z_2}</math>, <math>x_4=-\sqrt{z_2}</math>.
- Algorithmus 1 (frei nach Ferrari; entnommen aus der englischen Bruder-Wikipedia Quartic equation):
- <math> \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, </math>
- <math> \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, </math>
- <math> \gamma = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}, </math>
- Falls <math>\beta=0</math>, dann löse <math>u^4 + \alpha u^2 + \gamma = 0</math> und berechne <math>x_{1,2,3,4}=u_{1,2,3,4}-{B\over 4A}</math>.
- <math> P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, </math>
- <math> Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, </math>
- <math> U = \sqrt[3]{{Q\over 2} + \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}}</math> , wobei die Quadratwurzel möglichst so zu wählen ist, dass <math>U</math> nicht verschwindet,
- <math> y = - {5 \over 6} \alpha -U + \begin{cases} U=0&\to 0\\U\ne 0&\to {P\over 3U}\end{cases}\quad, </math>
- <math> x_{1,2,3,4} = - {B \over 4 A} + {s \sqrt{ \alpha + 2 y} + r \sqrt{-(\alpha + 2 y) - 2 \left( \alpha + s {\beta\over\sqrt{\alpha + 2 y}} \right) }\over 2 }. </math>
- <math>s,r \in \{-1,1\}</math> wählen, um alle Lösungen zu erhalten
- Quod Erat Faciendum.
- Algorithmus 2: ohne komplexe Zahlen
- Durch Division durch A bringt man die quartische Gleichung auf die Form:
- <math>x^4+px^3+qx^2+rx+s=0</math>
- Auf diese Form kann man das von Lodovico Ferrari gefundene Lösungsverfahren anwenden:
- <math>a=A, b=B, c=C, d=D, e=E</math>
- <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0</math>
- Sei nun
- <math>z^3 + pz + q = 0\quad\quad(2)</math>
- mit
- <math>p = {3bd - c^2\over 12a^2} - {e \over a}</math>
- <math>q = {8ce - 3d^2\over 24a^2} - {27b^2e - 9bcd + 2c^3 \over 216a^3}</math>.
- Dann finde ein reelles, möglichst nicht verschwindendes z gemäß Kubische Gleichung.
- Sei nun <math>y = z + {c \over 6a}</math>
- Dann liefert die folgende Fallunterscheidung Lösungen für (1) mit <math>s,r \in \{-1,+1\}</math>:
- Fall 1: <math>{b y - d\over a} > 0</math>
- <math>x_{1,2,3,4} = -{b\over 4a} + s \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} + r {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - r {c\over a}} - \sqrt{y^2 - {e\over a}}</math>
- Fall 2: <math>{b y - d\over a} < 0</math>
- <math>x_{1,2,3,4} = -{b\over 4a} + s \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} + r {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - r {c\over a}} + \sqrt{y^2 - {e\over a}}</math>
Beweis
(konstruktiv)
bis zur Erstellung der deutschen Übersetzung möge die englische Version der Herleitung hinreichen: en:Quartic equation.
Hilfssatz A
Aussage: <math>\bigwedge_{a,b\in \mathbb{C}} a+\sqrt{a^2+b}=0 \Longrightarrow a=0 \wedge b=0</math>, wobei eine Wurzel, für die gilt <math>\sqrt{a^2}=+a</math>, gemeint ist.
- Beweis durch Annahme des Gegenteils (Widerspruchsbeweis):
- Die Annahme <math>a=0 \wedge b\ne 0</math> führt zu <math>\sqrt{b}=0</math> und somit zum Widerspruch.
- Die Annahme <math>a\ne 0 \wedge b=0</math> führt zu <math>2a=0</math> und somit zum Widerspruch.
- Die Annahme <math>a\ne 0 \wedge b\ne 0</math> führt zu <math>\sqrt{a^2+b}=-a</math> und weiter zu <math>a^2+b=a^2</math> und weiter zu <math>b=0</math> und somit zum Widerspruch.
- Also folgt aus <math>a+\sqrt{a^2+b}=0</math> dass <math>a</math> und <math>b</math> verschwinden.
- quod erat demonstrandum
Pseudo-Code
A, B, C, D, E, a, b, c, P, Q, R, U, y, x1, x2, x3 und x4 können komplexe Zahlen sein.
Demzufolge müssen die Funktionen „sqrt“, „exp“ und „ln“ auf ebensolchen Zahlen definiert sein.
Für B=0 und D=0
- dann
- Algorithmus aus dem Artikel Quadratische Gleichung auf <math>Az^2 + Cz + E = 0</math> anwenden
- und <math>x_{1,2,3,4}</math> berechnen
- x1 = sqrt(z1);
- x2 = -sqrt(z1);
- x3 = sqrt(z2);
- x4 = -sqrt(z2);
- sonst
- a = -3*B*B/(8*A*A) + C/A;
- b = B*B*B/(8*A*A*A) - B*C/(2*A*A) + D/A;
- c = -3*B*B*B*B/(256*A*A*A*A) + C*B*B/(16*A*A*A) - B*D/(4*A*A) + E/A;
- wenn b = 0
- dann
- löse <math>u^4 + a u^2 + c = 0</math>
- und berechne
- x1=u1-B/(4*A);
- x2=u2-B/(4*A);
- x3=u3-B/(4*A);
- x4=u4-B/(4*A);
- sonst
- P = -a*a/12 - c;
- Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8;
- R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27);
- wenn R = 0
- dann U = 0;
- sonst U = exp(ln(R)/3);
- wenn U = 0
- dann (prüfe, ob P=0 gilt) y = -5*a/6;
- sonst y = -5*a/6 + P/(3*U) - U;
- x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2;
- x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2;
- x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2;
- x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2;
Es empfiehlt sich die Probe zu machen...
Beispiele
Beispiel für <math>P\ne 0 \vee Q\ne 0</math>
> calc
C-style arbitrary precision calculator (version 2.11.5t4.5)
Calc is open software. For license details type: help copyright
[Type "exit" to exit, or "help" for help.]
> A=1
> B=10
> C=-6
> D=60
> E=36
> a=-3*B^2/A^2/8 + C/A
> a
-43.5
> b=B^3/8/A^3 - B*C/2/A^2 + D/A
> b
215
> c=-3*B^4/256/A^4 + C*B^2/16/A^3 - B*D/4/A^2 + E/A
> c
-268.6875
> P = -a*a/12 - c
> P
111
> Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8
> Q
-1120
> R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27)
> R
43.53376044758258411234
> U = exp(ln(R)/3)
> U
3.51783442380909981526
> y = -5*a/6 + P/(3*U) - U
> y
~43.24999999999999999999
> x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x1
.77871926215100032617+2.32241174444907628892i
> A*x1^4+B*x1^3+C*x1^2+D*x1+E
~.00000000000000000007-~.00000000000000000073i
> x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x2
~-.54483004754633870880
> A*x2^4+B*x2^3+C*x2^2+D*x2+E
~.00000000000000000014
> x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x3
.77871926215100032617-2.32241174444907628892i
> A*x3^4+B*x3^3+C*x3^2+D*x3+E
~.00000000000000000007+~.00000000000000000073i
> x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x4
~-11.01260847675566194353
> A*x4^4+B*x4^3+C*x4^2+D*x4+E
~-.00000000000000000335
Beispiel für <math>P=0 \wedge Q=0</math>
> calc
C-style arbitrary precision calculator (version 2.11.5t4.5)
Calc is open software. For license details type: help copyright
[Type "exit" to exit, or "help" for help.]
> A=1
> B=0
> C=1
> D=sqrt(-8/27)
> E=-1/12
> a=-3*B^2/A^2/8 + C/A
> a
1
> b=B^3/8/A^3 - B*C/2/A^2 + D/A
> b
.54433105395181735515i
> c=-3*B^4/256/A^4 + C*B^2/16/A^3 - B*D/4/A^2 + E/A
> c
~-.08333333333333333333
> P = -a*a/12 - c
> P
0
> Q = -a*a*a/108 + a*c/3 - b*b/8
> Q
~-.00000000000000000000
> R = Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27)
> R
~-.00000000000000000000
> # U = exp(ln(R)/3)
> U=0
> U
0
> # y = -5*a/6 + P/(3*U) - U
> y = -5*a/6
> y
~-.83333333333333333333
> x1 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x1
~1.22474487139158904909i
> A*x1^4+B*x1^3+C*x1^2+D*x1+E
~-.00000000000000000000
> x2 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) + sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x2
-~.40824829041868291618i
> A*x2^4+B*x2^3+C*x2^2+D*x2+E
~-.00000000000000000000
> x3 = -B/(4*A) + (sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a + b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x3
-~.40824829046386301636i
> A*x3^4+B*x3^3+C*x3^2+D*x3+E
~-.00000000000000000000
> x4 = -B/(4*A) + (-sqrt(a+2*y) - sqrt(-(a+2*y) - 2*(a - b/sqrt(a+2*y) )))/2
> x4
-~.40824829050904311654i
> A*x4^4+B*x4^3+C*x4^2+D*x4+E
~-.00000000000000000000
Siehe auch
Gleichung, Lösen von Gleichungen, Mathematik
Literatur
siehe Cardanische Formeln
