Binomischer Lehrsatz
aus Freepedia, der freien Wissensdatenbank
Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y, also einen Ausdruck der Form
- <math> (x+y)^{n},\quad n\in\mathbb{N}</math>
als Polynom n-ten Grades in den Variablen x und y auszudrücken.
In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form <math>(x+y)^n</math> auszumultiplizieren ist.
Inhaltsverzeichnis |
Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten
Für alle Elemente <math>x</math> und <math>y</math> eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen <math>n\in\Bbb N_0</math> gilt die Gleichung
- <math> (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} x^{n-k}y^{k} \quad (1)</math>
Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen <math>x</math> und <math>y</math>.
Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten
- <math> {n \choose k} = \frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}</math> ,
die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit <math>n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n</math> ist hierbei die Fakultät von <math>n</math> bezeichnet.
Bemerkung
Die Terme <math>{n\choose k} x^{n-k}y^k</math> sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl <math>{n\choose k}</math> an das Ringelement <math>x^{n-k}y^k</math> aufzufassen, d.h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als <math>\Z</math>-Modul benutzt.
Verallgemeinerungen
- Der binomische Lehrsatz gilt auch in beliebigen unitären Ringen, sofern nur <math>x</math> und <math>y</math> miteinander kommutieren, d.h. <math>x\cdot y = y\cdot x</math> gilt.
- Auch die Existenz des Einselements im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
- <math>(x+y)^n = x^n + \sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k} x^{n-k}y^{k} + y^n</math>.
Herleitung
Der Beweis funktioniert durch Induktion über <math>n</math>; für jedes konkrete <math>n</math> kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.
Beispiel
- <math> (x+y)^3={3 \choose 0} x^{3} + {3 \choose 1} x^{2}y + {3 \choose 2} xy^{2} + {3 \choose 3} y^{3}=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3</math>
Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten
Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.
Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form
- <math> (x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^{k}y^{\alpha - k} \quad (2)</math>.
Diese Reihe konvergiert für alle <math> x,y\in\mathbb{C} </math> mit <math> |x/y| < 1 </math>.
Im Spezialfall <math> \alpha\in\mathbb{N}</math> geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle <math> x,y\in\mathbb{C} </math> gültig, da die Reihe dann abbricht.
Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als
- <math> {\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!} </math>.
Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.
Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.
Weiterführende Literatur
M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.
