Bernoullische Ungleichung
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In der Mathematik versteht man unter der Bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.
Für alle reellen Zahlen <math> x \geq -1</math> und alle natürlichen Zahlen <math>n</math> gilt
- <math>(1+x)^n \geq 1+nx</math>
Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli.
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Beweis
Die Bernoullische Ungleichung lässt sich sehr einfach mit vollständiger Induktion beweisen. Der Induktionsanfang <math>n=1</math> ist offensichtlich erfüllt. Als Induktionsvoraussetzung gelte nun <math>(1+x)^n \geq 1+nx</math> für <math> n \in \mathbb{N}</math>, <math>x \in \mathbb{R}</math> und <math>x \geq -1</math>, dann ist wegen <math>1+x\ge 0</math> auch
<math>(1+x)^{n+1} = (1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 \geq 1 + x + nx = 1 + (n+1)x</math>,
somit gilt die Behauptung für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>.
Verallgemeinerungen
Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für x > −1 gilt
- <math>(1+x)^r\geq 1+rx</math>
wenn r ≤ 0 oder r ≥ 1 und
- <math>(1+x)^r\leq 1+rx</math>
wenn 0 ≤ r ≤ 1.
Beispiel
Behauptung:
- <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1</math>
für alle reellen <math>a\geq 1</math>.
Beweis: Zunächst sei <math>x_n\geq 0</math> durch die Gleichung
- <math>\sqrt[n]{a} = 1 + x_n</math>
bestimmt. Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung
- <math>a = (1 + x_n)^n \geq 1 + nx_n</math>
- <math>a \geq 1 + nx_n</math>
- <math>\frac{a - 1}{n} \geq x_n</math>
Es ist aber
- <math>\lim_{n \to \infty}\frac{a - 1}{n} = 0</math>
Damit ist dann auch
- <math> \lim_{n\to\infty}x_n = 0</math>
und letztlich
- <math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 + \lim_{n\to\infty}x_n = 1 + 0 = 1.</math>
Anwendungen und verwandte Ungleichungen
Exponentialfunktion
Trotz oder gerade wegen ihrer Einfachheit ist die Bernoullische Ungleichung bei vielen Abschätzungen hilfreich; so folgt beispielsweise durch Anwendung der Bernoullischen Ungleichung auf <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x</math>, dass für die Exponentialfunktion die Ungleichung <math>1+x\le e^x</math> gilt. Für <math>x>0</math> sind beide Seiten positiv, sodass also <math>(1+x)^r\le e^{rx}</math> für <math>r\ge 0 </math> und <math>(1+x)^r\ge e^{rx}</math> für <math>r\le 0</math>. Insgesamt erhält man für reelle <math>x>-1</math> und reelle <math>r</math>:
- <math>(1+rx)\le (1+x)^r \le e^{rx}</math> für <math>r\ge 1</math>, Gleichheit für <math>x=0</math> oder in der linken Ungleichung für <math>r=1</math>,
- <math>(1+x)^r \le(1+rx)\le e^{rx}</math> für <math>0\le r\le 1</math>, Gleichheit für <math>x=0</math> oder <math>r=0</math> oder in der linken Ungleichung für <math>r=1</math>,
- <math> (1+rx)\le e^{rx}\le (1+x)^r</math> für <math>r\le 0</math>, Gleichheit für <math>x=0</math> oder <math>r=0</math>.
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Stuttgart, 1991
- 1. - ISBN 3-519-22231-0
- Hier findet sich im Kapitel 12.2. ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, der auf einer Abschätzung mit der Bernoullischen Ungleichung beruht und im Artikel über die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ausführlicher beschrieben ist.
