Bernoulli-Zahlen

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Die Bernoulli-Zahlen B_n sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Johann Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zahlenwerte 3 Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen 4 Rekursionsformel 5 Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome 6 Weblinks

Definition

Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert. Zur Unterscheidung schreiben wir B_n für die in Kontinentaleuropa üblichere Variante (die zum Beispiel im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein-Semendjajew und in den Integraltabellen von Gradshteyn-Ryzhik verwendet wird) und β_n für die abweichende Variante (die Eric Weisstein als die modernere propagiert).

Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion x/(e^x − 1) eingeführt: die Reihenentwicklung

<math>

\frac{x}{e^x-1} = 1 - {x\over 2} + B_1 {x^2\over 2!} - B_2{x^4\over 4!} \pm \ldots + {(-1)}^{n+1} B_n {x^{2n}\over (2n)!}\pm \ldots </math> beziehungsweise

<math>

\frac{x}{e^x-1} = 1 + \beta_1 {x\over 2} + \beta_2 {x^2\over 2!} + \ldots + \beta_n {x^{n}\over (n)!} + \ldots </math> konvergiert für alle x mit einem Betrag kleiner als 2π.

Zahlenwerte

Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten B₁, B₂, B₃, ... = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, ... Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der Reihenentwicklung des Tangens, Tangens Hyperbolicus oder Cosecans wieder.

In der alternativen Definition ist β₁=-1/2, alle weiteren β mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: β_2n+1=0. Die β mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den B_n gemäß B_n=(-1)ⁿ⁺¹β_2n als β₂, β₄, β₆, ... = 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, ...

Für längere Listen siehe unten unter Weblinks.

Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o.g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:

<math> B_n = \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}} </math>

<math> B_n = \frac{ 2 \cdot (2n)!} {(2^{2n} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}} </math>

<math> B_n = \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}} </math>

Rekursionsformel

Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome

Die Bernoulli-Polynome sind eine Abbildung <math>B_k:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}</math> und sind durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert:

<math> \, B_0(x) = 1</math>

und

<math>B'_k(x) = k \cdot B_{k-1}(x) \quad \quad \quad \int_0^1 B_k(x) \, dx = 0</math>

Die ersten drei Polynome lauten etwa:

<math>B_1(x) = x-\frac{1}{2}</math>

<math>B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}</math>

<math>B_3(x) = x^3 -\frac{3}{2}x^2 +\frac{1}{2}x</math>

Die konstanten Terme dieser Polynome stehen in direktem Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen, denn es sind gerade die Bernoulli-Zahlen <math>\beta_n</math>.

Weblinks

• Die ersten 498 Bernoulli-Zahlen als Projekt Gutenberg-e-Text.