Bellsche Zahl
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Die Bellsche Zahl <math>B_n</math> beschreibt die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Eric Temple Bell (1883-1960).
<math>B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} </math>
<math>B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots</math>
Eigenschaften der Bellschen Zahlen
Die Bellschen Zahlen entspringen dieser Rekursionsformel:
- <math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k} =\sum_{k=1}^{n+1} {n \choose k-1} B_{n+1-k}</math>
Ebenso die Dobinski-Formel:
- <math>B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}=</math> das n-te Glied einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 1.
Und sie genügen "Touchards Kongruenz": Wenn p eine Primzahl ist dann:<math>B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).</math>
Jede Bellzahl ist eine Summe der "Stirling-Zahl zweiter Art"
- <math>B_n = \sum_{k=1}^n S(n,k) = \sum_{k=0}^n S(n,k) \quad </math> (da <math>S(n,0)=0</math>).
Die Stirling Zahl S(n, k) ist die Anzahl der k nichtleeren Partitionen einer n-elementigen Menge.
Die n-te Bellzahl ist auch die Summe der Polynomialkoeffizienten.
Die erzeugende Funktion der Bellzahlen ist:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math>
