Hohmannbahn
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Unter der Hohmannbahn oder Hohmann-Ellipse versteht man in der Raumfahrt die energetisch günstigste Bahn, um von einer kreisförmigen Umlaufbahn in eine andere zu wechseln, bzw. von einem Planeten zu einem anderen zu gelangen. Gleichzeitig verlängert sich aber die Reisezeit um ein vielfaches. Die Übergangsbahn ist eine Ellipse, die sowohl den Anfangspunkt, als auch den Endpunkt tangential berührt.
Der Name geht zurück auf den deutschen Ingenieur Walter Hohmann und seine Schrift Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (1925).
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Beispiel
Transferbahn zum Mars
Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nächsten. Ein Satellit kann die geometrische Nähe nur unter hohem Aufwand nutzen, da er gegen die Bahnbewegung der Erde anfliegen muss.
Nach Hohmann ist der energetisch günstigste Transfer der, wenn der Satellit den Mars in Konjunktion zur Position der Erde erreicht, die die Erde bei seinem Abflug inne hatte. In der Abbildung ist startet die Sonde auf der Erde bei (1) und erreicht den Mars bei Position (3). Die Sonne steht dabei in einem der Brennpunkte der Transferbahn (gelb). Die doppelte Halbachse der Transferellipe ist die Summe aus der Entfernung Erde-Sonne und Sonne-Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von 2 Jahren.
Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters. Sie erfordert einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn, dafür ist die Sonde nur 7 Monate zum Mars unterwegs.
Transfer auf geostationäre Bahn
Um Satelliten in eine geostationäre Bahn (GEO) zu positionieren, werden sie zunächst auf eine niedrige kreisförmige Umlaufbahn gebracht, siehe (1) in der Zeichung. Dort erfolgen zwei Bahnkorrekturen. Die erste weitet die Kreisbahn auf eine Ellipse mit dem Apogäum beim zu erreichenden GEO, siehe (2). Die zweite Korrektur erfolgt im Apogäum und bringt den Satelliten auf den gewünschten kreisförmigen GEO, siehe (3). Vereinfachend wird angenommen, dass eine kurzzeitige Zündung des Triebwerks für die Geschwindigkeitsänderung genügt. In Wirklichkeit wird sich der notwendige Schub nur über eine längere Brenndauer erreichen lassen, wodurch weitere Bahnkorrekturen erforderlich werden.
Nach den keplerschen Gesetzten beträgt die Geschwindigkeit v(r) eines Körpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse a um die Erde:
- (1) <math> v = \sqrt{\mu \cdot (2/r -1/a)}</math>
mit <math>\mu = M \cdot \gamma </math>, wobei M die Erdmasse und γ die Gravitationskonstante sind.
Bezeichnen rp den Perigäum-Radius, ra den Apogäum-Radius und a = (rp + ra)/2 die große Halbachse der Transferellipse, so gilt für die Perigäums- und Apogäumsgeschwindigkeit:
- (2) <math>v_p = \sqrt{\mu/a \cdot r_a/r_p}</math>
- (3) <math>v_a = \sqrt{\mu/a \cdot r_p/r_a}</math>
und für die entsprechenden Kreisbahn-Geschwindigkeiten v(rp)p bzw v(ra)a:
- (4) <math>v(r) = \sqrt{\mu/r}</math>
Zahlenbeispiel
Folgende Werte seien gegeben:
- <math>\mu = 398'600 km^3/s^2</math>
- <math>r_p = 6'678 km</math> (gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Flughöhe von 300km)
- <math>r_a = 42'164 km</math>
Dann betragen die Kreis-Umlaufgeschwindigkeiten:
Und die Geschwindigkeiten im Perigäum bzw. Apogäum:
Daraus ergeben sich die beiden Geschwindigkeitsänderungen.
- Für die Änderung von der Kreisbahn auf die elliptische Bahn: (7)-(5) = 2,4 km/s
- Für die Änderung von der Ellipse auf den GEO: (6)-(8) = 1,46 km/s
Siehe auch
Weblinks
- http://www.urbin.de/next_step/next_step.htm (Das Problem der idealen Flugbahn)
- http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hohmann1.html (Hohmann Bahn - von Planet zu Planet) - mit Java Applet
