Ähnlichkeit (Matrix)

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Die Ähnlichkeit ist im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Zur Aussage „die <math>n \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> sind ähnlich über dem Körper <math>K</math>“, sind folgende Aussagen äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare <math>n \times n</math>-Matrix <math>P</math> über <math>K</math> mit <math>B = P^{-1}AP</math>.
• Es gibt eine invertierbare <math>n \times n</math>-Matrix <math>P</math> über <math>K</math> mit <math>PB = AP</math>.

Eine Abbildung <math>B = P^{-1}AP</math>, wie oben beschrieben, bezeichnet man als Ähnlichkeitsabbildung.

Ähnliche Matrizen haben viele Eigenschaften gemeinsam. Sie besitzen:

• den gleichen Rang,
• die gleiche Determinante,
• die gleiche Spur,
• die gleichen Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren),
• das gleiche charakteristische Polynom und
• das gleiche Minimalpolynom.